Questão de Matemática — Quadriláteros (Propriedades, Área, Perímetro, Soma dos Ângulos, etc) — FGV 2025

Perímetro de quadriláteros e razão entre percursos

Gabarito: letra E — o percurso de domingo (AMNDA) representa $\dfrac{5}{8}$ do percurso de sábado (ABCDA). Isso porque o percurso de sábado mede 2400 m (perímetro do retângulo) e o de domingo mede 1500 m (soma de AM, MN, ND e DA), e $\dfrac{1500}{2400} = \dfrac{5}{8}$.

O problema envolve dois conceitos básicos de geometria plana: o perímetro de um retângulo e a razão entre duas grandezas. O retângulo ABCD tem lados AB = 900 m e BC = 300 m. Como em todo retângulo os lados opostos são iguais, temos CD = 900 m e DA = 300 m. O percurso de sábado, ABCDA, é exatamente o contorno do retângulo, ou seja, seu perímetro: $900 + 300 + 900 + 300 = 2400$ m.

No domingo, João percorre o caminho AMNDA. Os pontos M e N são médios dos lados AB e CD, respectivamente. Isso significa que AM = MB = 450 m (metade de 900 m) e CN = ND = 450 m. O segmento MN liga os pontos médios dos lados horizontais do retângulo; como AB e CD são paralelos e têm o mesmo comprimento, MN é paralelo a AD e BC e tem o mesmo comprimento deles, ou seja, MN = 300 m. O percurso de domingo é, então: AM (450 m) + MN (300 m) + ND (450 m) + DA (300 m) = 1500 m.

A fração pedida é a razão entre o percurso menor e o maior: $\dfrac{1500}{2400}$. Simplificando essa fração (dividindo numerador e denominador por 300), obtemos $\dfrac{5}{8}$. A pegadinha da questão está em não perceber que MN tem o mesmo comprimento de BC (300 m), e não de AB (900 m) — quem erra costuma somar MN como se fosse 900 m, obtendo 2100 m e uma fração que não está nas alternativas.

Guarde o passo a passo: identificar os lados do retângulo, calcular os percursos como somas de segmentos e, por fim, montar a razão simplificada. É exatamente esse raciocínio que separa a alternativa correta das demais.

Alternativa A — ❌ Incorreta

A fração $\dfrac{1}{2}$ seria obtida se o percurso de domingo fosse exatamente a metade do de sábado, ou seja, 1200 m. Isso aconteceria se, por exemplo, o percurso fosse apenas AMND (sem o trecho DA), que mede 450 + 300 + 450 = 1200 m. Mas o percurso AMNDA inclui o retorno por DA (300 m), totalizando 1500 m. A alternativa confunde o caminho AMND com o caminho AMNDA.

Alternativa B — ❌ Incorreta

A fração $\dfrac{2}{3}$ corresponderia a um percurso de domingo de $\dfrac{2}{3} \times 2400 = 1600$ m. Esse valor não corresponde a nenhuma soma simples dos segmentos do caminho AMNDA. É um distrator numérico que não tem relação direta com as medidas do problema; provavelmente foi gerado para testar se o aluno calcula a razão corretamente.

Alternativa C — ❌ Incorreta

A fração $\dfrac{3}{4}$ corresponderia a um percurso de $\dfrac{3}{4} \times 2400 = 1800$ m. Esse valor seria obtido se o percurso de domingo fosse, por exemplo, AM + MN + ND + DA com MN = 600 m (o que não é o caso, pois MN = 300 m). É um distrator que surge de uma interpretação errada do comprimento de MN.

Alternativa D — ❌ Incorreta

A fração $\dfrac{3}{5}$ corresponderia a um percurso de $\dfrac{3}{5} \times 2400 = 1440$ m. Esse valor não é uma soma inteira dos segmentos do caminho (450 + 300 + 450 + 300 = 1500). É outro distrator numérico sem vínculo direto com as medidas, provavelmente incluído para confundir quem tenta resolver por aproximação.

Alternativa E — ✅ Correta ⟵ GABARITO

O percurso de sábado é o perímetro do retângulo: $2 \times (900 + 300) = 2400$ m. O percurso de domingo é AM + MN + ND + DA. Como M e N são pontos médios, AM = ND = 450 m. O segmento MN liga os pontos médios dos lados AB e CD, portanto é paralelo e igual a BC, medindo 300 m. Assim, o percurso de domingo é $450 + 300 + 450 + 300 = 1500$ m. A fração é $\dfrac{1500}{2400} = \dfrac{5}{8}$, simplificando por 300.

Gabarito: letra E