Matemática · FGV · 2025 | Questão sqc-fg167975

Multiplicação de Matrizes: efeito da matriz A sobre B

Gabarito: letra C. O produto $A \cdot B$ resulta em uma matriz $C$ cuja terceira linha é igual à terceira linha de $B$ ( $C_{3,1} = B_{3,1}$ ), pois a matriz $A$ é uma matriz de permutação que troca apenas as duas primeiras linhas, deixando a terceira inalterada. Isso decorre diretamente da regra de multiplicação de matrizes: cada elemento $C_{i,1}$ é o produto escalar da linha $i$ de $A$ pela coluna de $B$ .

A multiplicação de matrizes é uma operação que combina linhas da primeira matriz com colunas da segunda. Para que o produto $A \cdot B$ exista, o número de colunas de $A$ deve ser igual ao número de linhas de $B$ . Aqui, $A$ é $3 \times 3$ e $B$ é $3 \times 1$ , então o produto é possível e o resultado $C$ será $3 \times 1$ . O elemento $C_{i,1}$ é calculado somando os produtos dos elementos correspondentes da linha $i$ de $A$ com a coluna de $B$ .

Vamos calcular explicitamente. Seja $B = \begin{bmatrix} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end{bmatrix}$ . Então:

C = A \cdot B = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \cdot b_1 + 1 \cdot b_2 + 0 \cdot b_3 \\ 1 \cdot b_1 + 0 \cdot b_2 + 0 \cdot b_3 \\ 0 \cdot b_1 + 0 \cdot b_2 + 1 \cdot b_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} b_2 \\ b_1 \\ b_3 \end{bmatrix}

Portanto, $C_{1,1} = B_{2,1}$ , $C_{2,1} = B_{1,1}$ e $C_{3,1} = B_{3,1}$ . A matriz $A$ é uma matriz de permutação: ela troca a primeira e a segunda linhas de $B$ , mas mantém a terceira linha intacta. Essa é a chave da questão: identificar qual linha de $B$ permanece no mesmo lugar após a multiplicação.

A pegadinha da banca está em inverter os índices: como a primeira linha de $A$ tem o 1 na segunda coluna, o primeiro elemento de $C$ vem do segundo elemento de $B$ . O candidato apressado pode pensar que $C_{1,1} = B_{1,1}$ (alternativa A), mas isso só seria verdade se a matriz $A$ fosse a identidade. A alternativa correta é a que reconhece que a terceira linha de $A$ (0 0 1) preserva a terceira linha de $B$ .

Guarde a regra: para saber o efeito de uma matriz sobre outra, multiplique linha por coluna e some. No caso de uma matriz de permutação, o efeito é apenas reorganizar as linhas — e a linha que contém o 1 na posição da diagonal principal permanece inalterada.

Linha de A	Produto escalar com B	Resultado em C	Correspondência
1ª (0 1 0)	$(0\cdot b_1 + 1\cdot b_2 + 0\cdot b_3)$	(C_{1,1} = b_2)	(C_{1,1} = B_{2,1})
2ª (1 0 0)	$(1\cdot b_1 + 0\cdot b_2 + 0\cdot b_3)$	(C_{2,1} = b_1)	(C_{2,1} = B_{1,1})
3ª (0 0 1)	$(0\cdot b_1 + 0\cdot b_2 + 1\cdot b_3)$	(C_{3,1} = b_3)	(C_{3,1} = B_{3,1}) ✅

Alternativa A — ❌ Incorreta

Afirma que $C_{1,1} = B_{1,1}$ . Isso é falso: o elemento $C_{1,1}$ é o produto escalar da primeira linha de $A$ (0 1 0) pela coluna de $B$ , resultando em $0 \cdot b_1 + 1 \cdot b_2 + 0 \cdot b_3 = b_2$ . Ou seja, $C_{1,1} = B_{2,1}$ , não $B_{1,1}$ . A banca troca o índice da linha de $B$ que alimenta a primeira linha de $C$ .

Alternativa B — ❌ Incorreta

Afirma que $C_{2,1} = B_{2,1}$ . Falso: o elemento $C_{2,1}$ vem da segunda linha de $A$ (1 0 0), resultando em $1 \cdot b_1 + 0 \cdot b_2 + 0 \cdot b_3 = b_1$ . Portanto, $C_{2,1} = B_{1,1}$ . A alternativa inverte a correspondência: a segunda linha de $C$ recebe o primeiro elemento de $B$ .

Alternativa C — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Correta. O elemento $C_{3,1}$ é o produto escalar da terceira linha de $A$ (0 0 1) pela coluna de $B$ : $0 \cdot b_1 + 0 \cdot b_2 + 1 \cdot b_3 = b_3$ . Logo, $C_{3,1} = B_{3,1}$ . A terceira linha de $A$ tem o 1 na terceira coluna (diagonal principal), então ela preserva exatamente o terceiro elemento de $B$ .

Alternativa D — ❌ Incorreta

Afirma que $C_{1,1} = B_{3,1}$ . Falso: como visto, $C_{1,1} = B_{2,1}$ . A alternativa confunde a posição do 1 na primeira linha de $A$ (que está na segunda coluna) com a terceira coluna.

Alternativa E — ❌ Incorreta

Afirma que $C_{3,1} = B_{2,1}$ . Falso: $C_{3,1} = B_{3,1}$ . A alternativa troca o índice da linha de $B$ que é preservada pela terceira linha de $A$ .

NÃO CAIA NESSA!

A banca explora a confusão entre a posição do 1 na matriz $A$ e o índice do elemento de $B$ que ele seleciona. Na primeira linha de $A$ , o 1 está na segunda coluna, então $C_{1,1}$ vem de $B_{2,1}$ — não de $B_{1,1}$ . A única linha que "passa reto" é a terceira, porque o 1 está na diagonal. Com treino, você enxerga isso de imediato: matriz de permutação só reorganiza, e a linha com 1 na diagonal é a que fica intacta 💪.

Gabarito: letra C — apenas a alternativa C está correta, pois $C_{3,1} = B_{3,1}$ .