Questão de Matemática — Função de Segundo Grau — FGV 2025

Função quadrática: simetria em torno do vértice

Gabarito: letra B. Como $f(x) = 0{,}5(x - \pi)^2 + \sqrt{2}$ é uma função par em relação ao eixo $x = \pi$ (o vértice da parábola), temos $f(\pi - a) = f(\pi + a)$ para qualquer $a$ real. Assim, $f(\pi - \sqrt[3]{7}) = f(\pi + \sqrt[3]{7})$ — exatamente a alternativa B.

A função dada está na forma canônica da função quadrática: $f(x) = a(x - h)^2 + k$, onde $(h, k)$ é o vértice da parábola. Aqui, $a = 0{,}5$, $h = \pi$ e $k = \sqrt{2}$. O vértice é o ponto $V = (\pi, \sqrt{2})$, e como $a > 0$, a concavidade é voltada para cima, ou seja, o vértice é o ponto de mínimo da função.

A propriedade central que resolve a questão é a simetria da parábola em relação à reta vertical que passa pelo vértice, ou seja, em relação à reta $x = h = \pi$. Isso significa que pontos equidistantes de $\pi$ (um à esquerda, outro à direita) têm o mesmo valor de $f$. Matematicamente:

No caso, $d = \sqrt[3]{7}$. Portanto:

Vamos verificar algebricamente para fixar o conceito. Calculando $f(\pi - \sqrt[3]{7})$:

E calculando $f(\pi + \sqrt[3]{7})$:

Os dois resultados são idênticos, pois $(-\sqrt[3]{7})^2 = (\sqrt[3]{7})^2$. Isso confirma a simetria.

A pegadinha da banca está em tentar confundir o candidato com o sinal negativo dentro do argumento. Muitos alunos, ao verem $\pi - \sqrt[3]{7}$, pensam que o valor será diferente de $\pi + \sqrt[3]{7}$, ou que será o negativo de algo. Mas, por causa do quadrado na expressão, o sinal do termo $(x - \pi)$ é irrelevante: tanto faz se $x - \pi$ é positivo ou negativo, o quadrado torna o resultado o mesmo. É exatamente essa a propriedade que a questão explora.

Guarde a ideia central: numa função quadrática na forma canônica $f(x) = a(x-h)^2 + k$, a função é simétrica em relação à reta $x = h$. Isso significa que $f(h - d) = f(h + d)$ para todo $d$. É essa simetria que separa as alternativas corretas das incorretas.

Alternativa A — ❌ Incorreta

$f(\sqrt[3]{7} - \pi)$ é igual a $f(\pi - \sqrt[3]{7})$? Vamos calcular: $f(\sqrt[3]{7} - \pi) = 0{,}5 \cdot (\sqrt[3]{7} - \pi - \pi)^2 + \sqrt{2} = 0{,}5 \cdot (\sqrt[3]{7} - 2\pi)^2 + \sqrt{2}$. Isso não é igual a $0{,}5 \cdot (\sqrt[3]{7})^2 + \sqrt{2}$, a menos que $\sqrt[3]{7} - 2\pi = \pm \sqrt[3]{7}$, o que não ocorre. O erro aqui é achar que a simetria é em relação a $x = 0$, mas o vértice é em $x = \pi$, não em $x = 0$.

Alternativa B — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Como demonstrado, $f(\pi - \sqrt[3]{7}) = f(\pi + \sqrt[3]{7})$, pois a função é simétrica em relação à reta $x = \pi$. O quadrado do termo $(x - \pi)$ elimina a diferença de sinal entre $\pi - \sqrt[3]{7}$ e $\pi + \sqrt[3]{7}$.

Alternativa C — ❌ Incorreta

$-f(\pi - \sqrt[3]{7})$ seria o negativo do valor procurado. Como $f(\pi - \sqrt[3]{7}) = 0{,}5 \cdot (\sqrt[3]{7})^2 + \sqrt{2} > 0$, o negativo seria um número negativo, enquanto $f(\pi - \sqrt[3]{7})$ é positivo. A banca tenta confundir o candidato com o sinal de menos, mas a função não é ímpar; ela é par em relação ao eixo $x = \pi$.

Alternativa D — ❌ Incorreta

$-f(\pi + \sqrt[3]{7})$ também é o negativo do valor correto. Como $f(\pi + \sqrt[3]{7}) = f(\pi - \sqrt[3]{7}) > 0$, o negativo seria um número negativo, diferente do valor procurado. A confusão aqui é achar que a função assume valores negativos, mas como o vértice é o ponto de mínimo com $k = \sqrt{2} > 0$, a função é sempre positiva.

Alternativa E — ❌ Incorreta

$-f(\sqrt[3]{7} - \pi)$ é o negativo de $f(\sqrt[3]{7} - \pi)$, que já vimos ser diferente de $f(\pi - \sqrt[3]{7})$. Além do sinal negativo, o argumento $\sqrt[3]{7} - \pi$ não é simétrico a $\pi - \sqrt[3]{7}$ em relação a $\pi$; o simétrico seria $\pi + (\pi - \sqrt[3]{7}) = 2\pi - \sqrt[3]{7}$, não $\sqrt[3]{7} - \pi$.

Gabarito: letra B