GabaritoA — 7.
Gabarito: letra A — a conta chega a 7 cédulas — alternativa A.
Este é um problema de otimização com restrições de estoque: temos quantidades limitadas de cada tipo de cédula e precisamos atingir um valor exato usando o menor número possível de cédulas. A ideia é que cédulas de maior valor 'valem mais' em termos de quantidade, então, em geral, usar mais cédulas de R$ 50 reduz o total de cédulas, mas nem sempre é possível completar o valor exato com as cédulas restantes.
A relação fundamental é que o valor total é a soma dos produtos de cada tipo de cédula pela quantidade usada: 50·x + 20·y + 2·z = 182, onde x, y, z são as quantidades de cédulas de R$ 50, R$ 20 e R$ 2, respectivamente. Queremos minimizar x + y + z, sujeito a x ≤ 8, y ≤ 10, z ≤ 10 e x, y, z inteiros não negativos. Como as cédulas de R$ 50 são as de maior valor, intuitivamente devemos usar o máximo possível delas, mas precisamos verificar se o restante pode ser completado com as outras cédulas.
Esta questão cobra exatamente essa otimização: testar quantas cédulas de R$ 50 podemos usar e, para cada caso, verificar se o valor restante pode ser pago com cédulas de R$ 20 e R$ 2, contando o total de cédulas. O menor total encontrado é a resposta.
8 cédulas de R$ 50
10 cédulas de R$ 20
10 cédulas de R$ 2
valor a pagar: R$ 182
O que queremos: o menor número de cédulas que Jorge precisa usar para pagar exatamente R$ 182
Começamos pelo máximo possível de cédulas de R$ 50, pois elas reduzem bastante o número total. Temos 8 disponíveis, mas 3 cédulas de R$ 50 dão R$ 150, deixando R$ 32 para completar. Precisamos ver se R$ 32 pode ser pago com cédulas de R$ 20 e R$ 2.
Por que esta fórmula: O valor restante é o total menos o valor das cédulas de R$ 50: 182 - 3·50 = 32. Depois, tentamos pagar esse restante com o maior número possível de cédulas de R$ 20, pois são as de maior valor entre as restantes.
De onde vem cada valor: = enunciado: valor a pagar · = constante: quantidade testada de cédulas de R$ 50 · = enunciado: valor de cada cédula de R$ 50
= R$ 32
Achar que 3 cédulas de R$ 50 é sempre melhor; mas o restante de R$ 32 exige 1 cédula de R$ 20 e 6 de R$ 2, totalizando 10 cédulas, que não é o mínimo.
Com R$ 32 restantes, usamos o máximo de cédulas de R$ 20: uma cédula de R$ 20 deixa R$ 12, que são seis cédulas de R$ 2. Isso totaliza 1 + 6 = 7 cédulas para o restante, somando 3 + 7 = 10 cédulas no total.
Por que esta fórmula: Para minimizar o número de cédulas, usamos a maior cédula possível (R$ 20) primeiro. Com 1 cédula de R$ 20, sobram R$ 12, que são exatamente 6 cédulas de R$ 2.
De onde vem cada valor: = passo 1: restante · = constante: quantidade de cédulas de R$ 20 · = enunciado: valor de cada cédula de R$ 20 · = constante: quantidade de cédulas de R$ 2 · = enunciado: valor de cada cédula de R$ 2
Tentar usar 2 cédulas de R$ 20, mas isso daria R$ 40, que ultrapassa R$ 32; não é possível.
Como 3 cédulas de R$ 50 não deram o mínimo, tentamos uma a menos. Com 2 cédulas de R$ 50, temos R$ 100, faltando R$ 82. Precisamos ver se R$ 82 pode ser pago com cédulas de R$ 20 e R$ 2.
Por que esta fórmula: O restante é 182 - 2·50 = 82. Agora, usamos o máximo de cédulas de R$ 20: 4 cédulas de R$ 20 dão R$ 80, sobrando R$ 2, que é uma cédula de R$ 2.
De onde vem cada valor: = enunciado: valor a pagar · = constante: quantidade testada de cédulas de R$ 50 · = enunciado: valor de cada cédula de R$ 50
= R$ 82
Achar que 2 cédulas de R$ 50 deixam um restante difícil de completar; mas 4 cédulas de R$ 20 e 1 de R$ 2 resolvem.
Com R$ 82 restantes, usamos o máximo de cédulas de R$ 20: 4 cédulas de R$ 20 dão R$ 80, sobrando R$ 2, que é uma cédula de R$ 2. Isso totaliza 4 + 1 = 5 cédulas para o restante, somando 2 + 5 = 7 cédulas no total.
Por que esta fórmula: Para minimizar, usamos a maior cédula possível (R$ 20) primeiro. 4 cédulas de R$ 20 = R$ 80, e o restante R$ 2 é uma cédula de R$ 2.
De onde vem cada valor: = passo 3: restante · = constante: quantidade de cédulas de R$ 20 · = enunciado: valor de cada cédula de R$ 20 · = constante: quantidade de cédulas de R$ 2 · = enunciado: valor de cada cédula de R$ 2
Tentar usar 5 cédulas de R$ 20, mas isso daria R$ 100, que ultrapassa R$ 82; não é possível.
Já encontramos uma combinação com 7 cédulas. Para garantir que é o mínimo, precisamos verificar se é possível com menos, ou seja, com 6 cédulas ou menos. Como cada cédula de R$ 50 é a de maior valor, o máximo que podemos pagar com 6 cédulas é 6·50 = R$ 300, mas precisamos de exatamente R$ 182. No entanto, com 6 cédulas, o valor máximo que podemos atingir sem ultrapassar é 3·50 + 3·20 = R$ 210, mas precisamos de R$ 182. Vamos testar combinações com 6 cédulas: por exemplo, 2 de R$ 50 (R$ 100) + 4 de R$ 20 (R$ 80) = R$ 180, faltando R$ 2, que exigiria uma sétima cédula. Qualquer combinação com 6 cédulas ou não atinge R$ 182 ou ultrapassa. Portanto, 7 é o mínimo.
Por que esta fórmula: Não há fórmula específica; é uma análise de possibilidades. Com 6 cédulas, o valor máximo que podemos pagar sem ultrapassar é usando as maiores cédulas: 3 de R$ 50 e 3 de R$ 20 = R$ 210, mas isso ultrapassa R$ 182. A combinação que mais se aproxima sem ultrapassar é 2 de R$ 50 e 4 de R$ 20 = R$ 180, que deixa R$ 2 de resto, exigindo mais uma cédula. Portanto, 6 cédulas não bastam.
Achar que 3 cédulas de R$ 50 é sempre melhor; mas o restante de R$ 32 exige 7 cédulas extras, totalizando 10, que é pior.
Resposta: 7 cédulas — alternativa A
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