Questão de Matemática — Análise Combinatória (Princípio Fundamental da Contagem, Arranjos, Combinações, Permutações) — FGV 2025

Resolução

Gabarito: letra B — a conta chega a 4 maneiras — alternativa B.

A ideia por trás

Análise combinatória é a parte da matemática que conta de quantas formas diferentes podemos agrupar elementos. Aqui, temos 6 soldados para dividir em dois grupos: um com 4 e outro com 2. Como as equipes têm funções diferentes (investigar ocorrências distintas), a equipe de 4 e a de 2 são distinguíveis — ou seja, escolher quem fica na equipe de 4 automaticamente define quem fica na de 2, mas a ordem entre as equipes importa.

O princípio fundamental da contagem diz que, se uma escolha tem m opções e outra tem n opções independentes, o total é m × n. Para escolher uma equipe de 4 entre 6, o número de combinações é C(6,4) = 15, mas as restrições reduzem drasticamente esse número. A restrição de Mário e Renato separados e Lauro e Túlio juntos elimina a maioria das combinações, sobrando poucas configurações válidas.

Esta questão cobra a contagem com restrições: precisamos listar as possibilidades que satisfazem as condições, em vez de usar apenas a fórmula de combinação. Vamos analisar quem pode estar na equipe de 2 (a menor), pois isso determina a equipe de 4.

O que a questão dá

• 6 soldados: Lauro, Mário, Paulo, Renato, Sílvio, Túlio

• equipe de 4 pessoas e equipe de 2 pessoas

• Mário e Renato em equipes diferentes

• Lauro e Túlio na mesma equipe

O que queremos: o número de maneiras de formar as duas equipes respeitando as restrições

Passo 1 — Aplicar a restrição de Mário e Renato separados

Mário e Renato não podem ficar juntos. Isso significa que eles não podem estar ambos na equipe de 2, nem ambos na equipe de 4. Como a equipe de 4 é o complemento, se eles estão juntos na de 2, também estão juntos na de 4. Então, a dupla {Mário, Renato} é proibida. Além disso, se um deles está na de 2, o outro deve estar na de 4.

Passo 2 — Aplicar a restrição de Lauro e Túlio juntos

Lauro e Túlio devem ficar na mesma equipe. Isso significa que ou ambos estão na equipe de 2, ou ambos estão na equipe de 4. Se um está na de 2 e o outro na de 4, a restrição é violada. Então, as duplas que contêm apenas um deles são proibidas.

Passo 3 — Enumerar as duplas válidas para a equipe de 2

Agora vamos combinar as duas restrições. Vamos testar cada dupla possível e ver se ela satisfaz as condições. As duplas que contêm Mário e Renato juntos são inválidas. As duplas que contêm apenas um de Lauro/Túlio são inválidas. As duplas que contêm ambos Lauro e Túlio são válidas, desde que Mário e Renato fiquem separados (o que acontece automaticamente, pois se Lauro e Túlio estão na de 2, Mário e Renato estão na de 4, juntos — o que é inválido!). Então, na verdade, Lauro e Túlio não podem estar na de 2, pois isso forçaria Mário e Renato juntos na de 4. Portanto, Lauro e Túlio devem estar na equipe de 4, e a equipe de 2 deve conter exatamente um de Mário/Renato e um dos outros (Paulo ou Sílvio).

Passo 4 — Contar as configurações válidas

A equipe de 2 deve ter um de Mário/Renato e um de Paulo/Sílvio. As opções são: {Mário, Paulo}, {Mário, Sílvio}, {Renato, Paulo}, {Renato, Sílvio}. São 4 duplas. Cada uma define uma equipe de 4 com os restantes, que automaticamente inclui Lauro e Túlio juntos e o outro de Mário/Renato. Portanto, há 4 maneiras.

Por que esta fórmula: Contagem direta: 2 escolhas para quem fica na equipe de 2 entre Mário e Renato, e 2 escolhas entre Paulo e Sílvio, total 2×2 = 4.

De onde vem cada valor: $2$ = passo 3: escolha entre Paulo ou Sílvio para a equipe de 2

Resposta: 4 maneiras — alternativa B