Questão de Matemática — Função Exponencial e Inequações Exponenciais — FGV 2025

Modelagem de experimento com função exponencial

Gabarito: letra B. O experimento "Eliminando quadrados" descreve uma quantidade que decresce a cada jogada por um fator constante (retira-se sempre a mesma proporção dos quadrados que caem com a face vermelha para cima), o que caracteriza uma função exponencial decrescente da forma $f(x) = k \cdot a^x$, com $0 < a < 1$. A alternativa B é a única que combina a estrutura exponencial com a base entre 0 e 1, reproduzindo o decaimento observado.

O que é uma função exponencial e por que ela modela o experimento

Uma função exponencial é definida por $f(x) = a^x$, com base $a$ real, $a > 0$ e $a \neq 1$. Quando multiplicamos por uma constante $k$, temos $f(x) = k \cdot a^x$, que é a forma geral de um decaimento ou crescimento exponencial. A característica central é que a variação da função é proporcional ao seu valor atual: a cada passo, o valor é multiplicado por um fator constante $a$.

No experimento, os estudantes lançam 240 quadrados e retiram os que caem com a face vermelha para cima. Se a probabilidade de um quadrado cair com a face vermelha é constante (aproximadamente $\frac{1}{2}$, se as cores são igualmente prováveis), então, em média, a cada jogada sobra uma fração fixa dos quadrados. Se essa fração é $a$ (com $0 < a < 1$), a quantidade restante após $x$ jogadas é $Q(x) = 240 \cdot a^x$. O valor inicial é $Q(0) = 240$, que corresponde à constante $k$.

A função exponencial decrescente tem a propriedade de que, para $0 < a < 1$, o valor diminui rapidamente no início e depois se aproxima de zero sem nunca atingi-lo — exatamente o comportamento esperado ao retirar uma proporção fixa a cada rodada. O eixo horizontal (eixo $x$) é uma assíntota horizontal: o gráfico se aproxima dele indefinidamente.

Por que as outras formas não servem

• Função quadrática ($f(x) = k + ax^2$): cresce ou decresce com aceleração constante, mas não representa um decaimento proporcional. No experimento, a quantidade não diminui por uma diferença fixa, mas por uma proporção fixa.

• Função logarítmica ($f(x) = k \cdot \log_a x$): cresce muito rapidamente no início e depois se estabiliza, o que não corresponde ao decaimento observado.

• Função exponencial crescente ($f(x) = k \cdot a^x$ com $a > 1$): representaria um crescimento, não uma redução.

A pegadinha da questão

A banca explora a confusão entre crescimento e decrescimento exponencial. Muitos candidatos lembram que a função exponencial tem a forma $k \cdot a^x$, mas erram ao escolher a base: se a quantidade diminui, a base deve estar entre 0 e 1, não ser maior que 1. A alternativa C ($a > 1$) é a armadilha clássica — ela tem a estrutura correta, mas a base errada.

Análise das alternativas

Alternativa A — ❌ Incorreta

A função $f(x) = k + ax^2$ é uma função quadrática, não exponencial. Ela descreve uma variação com aceleração constante, mas o experimento retira uma proporção fixa a cada jogada, o que gera um decaimento exponencial, não quadrático. Além disso, a soma $k + ax^2$ não tem a propriedade de multiplicar o valor atual por um fator constante.

Alternativa B — ✅ Correta ⟵ GABARITO

A função $f(x) = k \cdot a^x$, com $0 < a < 1$, é exatamente o modelo de decaimento exponencial. A cada jogada, a quantidade restante é multiplicada por $a$ (a fração que permanece), e $k$ representa a quantidade inicial (240 quadrados). Como a quantidade diminui, a base deve ser menor que 1, o que torna esta a única alternativa correta.

Alternativa C — ❌ Incorreta

A função $f(x) = k \cdot a^x$ com $a > 1$ é uma função exponencial crescente. No experimento, a quantidade de quadrados diminui a cada jogada, então a base deve estar entre 0 e 1. A alternativa C tem a estrutura correta, mas a base errada — é a armadilha clássica da questão.

Alternativa D — ❌ Incorreta

A função $f(x) = k \cdot \log_a x$ é uma função logarítmica. Ela cresce rapidamente no início e depois se estabiliza, o que não corresponde ao decaimento proporcional do experimento. Além disso, a base $0 < a < 1$ tornaria a função decrescente, mas ainda assim não modelaria a retirada de uma fração fixa a cada jogada.

Alternativa E — ❌ Incorreta

A função $f(x) = k \cdot \log_a x$ com $a > 1$ é uma função logarítmica crescente. Assim como a alternativa D, ela não representa o decaimento exponencial do experimento. A forma correta é exponencial, não logarítmica.

Gabarito: letra B — a única que combina a estrutura exponencial com a base entre 0 e 1, modelando corretamente o decaimento proporcional do experimento.