Questão de Matemática — Razões e Funções Trigonométricas. Ciclo Trigonométrico. — FGV 2025

Função seno: efeito dos parâmetros a e b

Gabarito: letra B. Na função $f(x) = a\cdot\text{sen}(bx + c) + d$, o parâmetro $a$ controla a amplitude (estica ou comprime verticalmente o gráfico) e o parâmetro $b$ controla o período (comprime ou estica horizontalmente, alterando a frequência das oscilações). É exatamente essa dupla de efeitos que a alternativa B descreve.

A função seno generalizada $f(x) = a\cdot\text{sen}(bx + c) + d$ é a forma mais completa de representar uma onda senoidal, e cada parâmetro tem um papel geométrico bem definido no gráfico. Vamos destrinchar cada um:

• $a$ (amplitude): multiplica o valor do seno, que naturalmente varia entre $-1$ e $1$. Assim, o gráfico passa a variar entre $-a$ e $a$ (em valor absoluto). Se $|a| > 1$, a onda "estica" verticalmente; se $0 < |a| < 1$, ela "achata". O sinal de $a$ inverte o gráfico em relação ao eixo x. A amplitude é a "altura" da onda a partir do eixo central.

• $b$ (frequência angular): multiplica a variável $x$ dentro do seno. Isso altera a rapidez com que a função completa um ciclo. O período da função é dado por $P = \frac{2\pi}{|b|}$. Quanto maior $|b|$, menor o período (mais oscilações no mesmo intervalo); quanto menor $|b|$, maior o período (menos oscilações).

• $c$ (fase): soma uma constante ao argumento $bx$, o que desloca o gráfico horizontalmente (translação horizontal). O deslocamento é de $-c/b$ unidades.

• $d$ (deslocamento vertical): soma uma constante ao valor final da função, deslocando o gráfico verticalmente para cima (se $d > 0$) ou para baixo (se $d < 0$).

A questão pede especificamente o que acontece quando se movimentam apenas os controles de $a$ e $b$. O parâmetro $a$ altera a amplitude, e o parâmetro $b$ altera o período. As translações (horizontal e vertical) são controladas por $c$ e $d$, respectivamente, que não são movimentados na tarefa.

Para fixar, veja a comparação:

A pegadinha clássica desta questão é confundir o efeito de $b$ com translação horizontal. O parâmetro $b$ não desloca o gráfico; ele altera a frequência com que a onda se repete, ou seja, o período. A translação horizontal é causada por $c$, que não é movimentado na tarefa. Guarde essa distinção: é exatamente nela que as alternativas se dividem.

Alternativa A — ❌ Incorreta

Afirma que os parâmetros $a$ e $b$ alteram a amplitude e a translação horizontal. O erro está em atribuir a translação horizontal ao parâmetro $b$. A translação horizontal é efeito do parâmetro $c$ (fase), não de $b$. O parâmetro $b$ altera o período.

Alternativa B — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Correta porque descreve exatamente os efeitos de $a$ e $b$: $a$ controla a amplitude (esticar/achatar verticalmente) e $b$ controla o período (comprimir/estender horizontalmente). É a única alternativa que associa corretamente os dois parâmetros aos seus efeitos.

Alternativa C — ❌ Incorreta

Afirma que os parâmetros $a$ e $b$ alteram as translações vertical e horizontal. Erro duplo: $a$ não causa translação vertical (isso é efeito de $d$), e $b$ não causa translação horizontal (isso é efeito de $c$).

Alternativa D — ❌ Incorreta

Afirma que os parâmetros $a$ e $b$ alteram o período e a translação horizontal. O erro está em atribuir a translação horizontal ao parâmetro $b$. A translação horizontal é efeito de $c$, não de $b$. Além disso, $a$ não altera o período, mas sim a amplitude.

Alternativa E — ❌ Incorreta

Afirma que os parâmetros $a$ e $b$ alteram o período e a translação vertical. O erro está em atribuir a translação vertical ao parâmetro $b$. A translação vertical é efeito de $d$, não de $b$. Além disso, $a$ não altera o período, mas sim a amplitude.

Gabarito: letra B