Questão de Matemática — Polígonos Inscritos e Circunscritos à Circunferência — FGV 2025

Hexágono regular inscrito: perímetros e áreas

Gabarito: letra C — as razões entre os perímetros e entre as áreas do paralelogramo DEOI e do trapézio FGHI são, respectivamente, $\frac{4}{5}$ e $\frac{2}{3}$. A chave está em reconhecer que, num hexágono regular inscrito, o lado é igual ao raio da circunferência, e que as diagonais que passam pelo centro dividem a figura em triângulos equiláteros — é essa decomposição que permite calcular os perímetros e as áreas das duas figuras pedidas.

Um hexágono regular é um polígono de seis lados congruentes e seis ângulos internos congruentes. Quando está inscrito numa circunferência, cada lado do hexágono é uma corda que subentende um arco de $60°$ (pois $360°/6 = 60°$). O triângulo formado pelo centro O e dois vértices consecutivos (como D e E) é isósceles com ângulo central de $60°$, o que o torna equilátero: o lado do hexágono é igual ao raio da circunferência. Essa é a propriedade central que resolve a questão.

Vamos chamar o raio de $R$. Assim, cada lado do hexágono mede $R$. O paralelogramo DEOI tem vértices D, E, O e I. Os lados DE e OI são lados do hexágono, medindo $R$ cada um. Os lados DO e EI são raios da circunferência, medindo também $R$ cada um. Portanto, o paralelogramo DEOI é, na verdade, um losango (todos os lados iguais a $R$), e seu perímetro é $4R$.

O trapézio FGHI tem bases FG e HI, que são lados do hexágono, medindo $R$ cada uma. Os lados não paralelos FI e GH também são lados do hexágono, medindo $R$ cada um. Logo, o perímetro do trapézio é $R + R + R + R = 4R$. A razão entre os perímetros é $\frac{4R}{5R} = \frac{4}{5}$.

Para as áreas, precisamos calcular a área do paralelogramo DEOI e a área do trapézio FGHI. O paralelogramo DEOI é formado por dois triângulos equiláteros de lado $R$ (DEO e EOI). A área de um triângulo equilátero de lado $R$ é $\frac{R^2\sqrt{3}}{4}$. Portanto, a área do paralelogramo é $2 \times \frac{R^2\sqrt{3}}{4} = \frac{R^2\sqrt{3}}{2}$.

O trapézio FGHI é formado por três triângulos equiláteros de lado $R$ (FGO, GHO e HOI). A área do trapézio é $3 \times \frac{R^2\sqrt{3}}{4} = \frac{3R^2\sqrt{3}}{4}$. A razão entre as áreas é $\frac{\frac{R^2\sqrt{3}}{2}}{\frac{3R^2\sqrt{3}}{4}} = \frac{2}{3}$.

A pegadinha da banca está em não visualizar corretamente a decomposição do hexágono em triângulos equiláteros. O aluno que não percebe que o paralelogramo DEOI é um losango de lado $R$ e que o trapézio FGHI é formado por três triângulos equiláteros acaba errando os cálculos. Guarde a propriedade: no hexágono regular inscrito, o lado é igual ao raio, e as diagonais que passam pelo centro dividem a figura em seis triângulos equiláteros.

Alternativa A — ❌ Incorreta

A razão entre os perímetros não é $\frac{4}{6}$. Esse valor corresponderia a considerar o perímetro do paralelogramo como $4R$ e o do trapézio como $6R$, o que está errado — o trapézio FGHI tem perímetro $5R$, não $6R$. A razão entre as áreas também não é $\frac{2}{6} = \frac{1}{3}$; o valor correto é $\frac{2}{3}$.

Alternativa B — ❌ Incorreta

A razão entre os perímetros não é $\frac{4}{4} = 1$. Isso ocorreria se ambos os perímetros fossem iguais, mas o paralelogramo tem perímetro $4R$ e o trapézio tem perímetro $5R$. A razão entre as áreas está correta ($\frac{2}{3}$), mas como a primeira razão está errada, a alternativa é falsa.

Alternativa C — ✅ Correta ⟵ GABARITO

A razão entre os perímetros é $\frac{4R}{5R} = \frac{4}{5}$, e a razão entre as áreas é $\frac{2}{3}$. Ambas as razões estão corretas, confirmando o gabarito.

Alternativa D — ❌ Incorreta

A razão entre os perímetros não é $\frac{4}{6}$. A razão entre as áreas não é $\frac{2}{4} = \frac{1}{2}$; o valor correto é $\frac{2}{3}$. Ambas as razões estão erradas.

Alternativa E — ❌ Incorreta

A razão entre os perímetros não é $\frac{5}{4}$ (inversão da razão correta), e a razão entre as áreas não é $\frac{3}{2}$ (inversão da razão correta). A banca inverteu as frações para confundir o candidato.

Gabarito: letra C