Questão de Matemática — Radiciação e Potenciação — FGV 2025

Potenciação: soma de potências de mesma base

Gabarito: letra D — o valor da expressão é 221. A resolução exige colocar o fator comum $8^5$ em evidência e aplicar a propriedade da multiplicação de potências de mesma base; o resultado final é $2^{21}$, que vale 2.097.152 — e não 2.097.152, mas 2.097.152? Não: $2^{21} = 2.097.152$. A alternativa D traz $2^{21}$, que é exatamente o valor da expressão.

A expressão $3 \cdot 8^5 + 7 \cdot 8^6 + 5 \cdot 8^5$ parece assustadora, mas é uma aplicação direta de duas propriedades da potenciação. Primeiro, observe que os termos $3 \cdot 8^5$ e $5 \cdot 8^5$ têm o mesmo fator $8^5$; somando os coeficientes, temos $8 \cdot 8^5$. O termo do meio, $7 \cdot 8^6$, pode ser reescrito como $7 \cdot 8 \cdot 8^5 = 56 \cdot 8^5$. Agora a expressão inteira tem o fator $8^5$ em comum: $8 \cdot 8^5 + 56 \cdot 8^5 = 64 \cdot 8^5$. Como $64 = 8^2$, temos $8^2 \cdot 8^5 = 8^7$. Mas $8 = 2^3$, então $8^7 = (2^3)^7 = 2^{21}$. E $2^{21} = 2.097.152$, que é o valor da alternativa D.

A pegadinha clássica aqui é tentar somar os expoentes ou as bases diretamente, como se fosse $3 \cdot 8^5 + 7 \cdot 8^6 + 5 \cdot 8^5 = 15 \cdot 8^{16}$ (alternativa B). Isso está errado porque a soma de potências não é uma propriedade da potenciação — só a multiplicação de potências de mesma base permite somar expoentes. A alternativa A ($15 \cdot 8^5$) também erra ao somar os coeficientes sem considerar que o termo do meio tem expoente 6, não 5. A alternativa C ($4^{14}$) confunde a base 8 com $2^3$ e erra o expoente. A alternativa E ($2^7 + 4$) é um palpite sem relação com o cálculo.

Para resolver com segurança, o caminho é sempre o mesmo: fatorar a expressão pelo menor expoente comum e depois simplificar usando as propriedades de potência. Vamos ver cada alternativa em detalhe.

Alternativa A — ❌ Incorreta

$15 \cdot 8^5$ seria o resultado se somássemos apenas os coeficientes 3, 7 e 5, ignorando que o termo do meio tem expoente 6. Mas $7 \cdot 8^6 \neq 7 \cdot 8^5$ — o expoente 6 indica uma potência muito maior. A soma correta dos coeficientes só é possível quando todos os termos têm exatamente a mesma potência de 8, o que não é o caso aqui. O erro é tratar a expressão como se fosse $3 \cdot 8^5 + 7 \cdot 8^5 + 5 \cdot 8^5$, o que não é verdade.

Alternativa B — ❌ Incorreta

$15 \cdot 8^{16}$ é o erro mais comum: soma os coeficientes (3+7+5=15) e também soma os expoentes (5+6+5=16). Isso viola completamente as propriedades da potenciação. A soma de potências não permite somar expoentes — essa regra vale apenas para a multiplicação de potências de mesma base ($a^m \cdot a^n = a^{m+n}$). Aqui temos uma soma, então a única simplificação possível é via fatoração, não via soma de expoentes.

Alternativa C — ❌ Incorreta

$4^{14}$ é um distrator que mistura a base 8 com $2^3$ e erra o expoente. Se $8 = 2^3$, então $8^7 = (2^3)^7 = 2^{21}$, não $4^{14}$. A alternativa C parece plausível para quem tenta converter 8 em $2^3$ mas erra o expoente final. O valor correto é $2^{21}$, que é a alternativa D.

Alternativa D — ✅ Correta ⟵ GABARITO

$2^{21}$ é exatamente o valor da expressão. Veja o passo a passo:

1. $3 \cdot 8^5 + 7 \cdot 8^6 + 5 \cdot 8^5$

2. Reagrupe os termos com $8^5$: $(3+5) \cdot 8^5 + 7 \cdot 8^6 = 8 \cdot 8^5 + 7 \cdot 8^6$

3. Reescreva $7 \cdot 8^6$ como $7 \cdot 8 \cdot 8^5 = 56 \cdot 8^5$

4. Some: $8 \cdot 8^5 + 56 \cdot 8^5 = 64 \cdot 8^5$

5. Como $64 = 8^2$, temos $8^2 \cdot 8^5 = 8^7$

6. Como $8 = 2^3$, temos $8^7 = (2^3)^7 = 2^{21}$

Portanto, $3 \cdot 8^5 + 7 \cdot 8^6 + 5 \cdot 8^5 = 2^{21}$, que é a alternativa D.

Alternativa E — ❌ Incorreta

$2^7 + 4$ não tem relação com o cálculo. Parece um palpite que mistura o expoente 7 (de $8^7$) com um 4 solto. O valor correto é $2^{21}$, não $2^7 + 4$. Essa alternativa provavelmente foi criada para confundir quem chega a $8^7$ e tenta converter para base 2, mas erra o expoente.

Gabarito: letra D