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Questão de Matemática — Função Logarítmica e Inequações Logarítmicas — FGV 2025

MatemáticaFunção Logarítmica e Inequações Logarítmicas
Código
fg168001
Banca
FGV
Órgão
SEDUC MT
Ano
2025
Cargo
Prof ( )
Uma pessoa com audição normal é capaz de ouvir uma grande faixa de sons de intensidades bem diferentes. O som pode ser classificado como fraco ou forte quanto à sua intensidade, que é representada por I e no Sistema Internacional é expressa em W/m2 (watt por metro quadrado). Existe um valor mínimo de intensidade de som, abaixo da qual é impossível ouvir algo. A essa intensidade, damos o nome de limiar de audibilidade, que pode ser representado por I0 e vale em média, 10–12 W/m2. Com base nos valores de intensidade de som, o nível de intensidade (β\beta) medido em decibel (dB) é definido por:   β\beta = 10.log(IIo\frac{I}{I_o}) Disponível em: https://www.obaricentrodamente.com/2011/11/logaritmos-os-sons-e- audicao-humana.html Acesso em: 22 de abr. de 2025.   Um ambiente em que a intensidade sonora é de 10−4W/m2, o nível de intensidade de som é de
  1. A18 dB.
  2. B40 dB.
  3. C80 dB.
  4. D120 dB.
  5. E160 dB.
Revelar gabarito e comentário

GabaritoC — 80 dB.

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Resolução

Gabarito: letra C — a conta chega a 80 dB — alternativa C.

A ideia por trás

O nível de intensidade sonora é uma forma de medir o quão forte um som é, mas em vez de usar a intensidade física diretamente (que varia em uma faixa gigantesca), usa-se uma escala logarítmica. O decibel (dB) compara a intensidade do som com um valor de referência, o limiar de audibilidade, que é o som mais fraco que conseguimos ouvir. Assim, 0 dB é o limiar, e cada aumento de 10 dB significa que a intensidade física ficou 10 vezes maior.

A fórmula β = 10·log₁₀(I/I₀) define o nível em decibéis. O logaritmo na base 10 'comprime' a escala: se a intensidade I for 10 vezes o limiar, o logaritmo vale 1 e β = 10 dB; se for 100 vezes, vale 2 e β = 20 dB, e assim por diante. O fator 10 é o que define o decibel (sem ele, teríamos o bel, unidade maior). Essa relação vale para qualquer intensidade positiva, e é por isso que conseguimos representar desde sons quase inaudíveis até sons ensurdecedores com números pequenos.

Esta questão pede apenas a aplicação direta da fórmula: substituir os valores de I e I₀, simplificar a razão de potências de 10 e calcular o logaritmo. O passo crítico é lembrar que dividir potências de mesma base subtrai os expoentes.

O que a questão dá

  • intensidade sonora I = 10⁻⁴ W/m²

  • limiar de audibilidade I₀ = 10⁻¹² W/m²

  • fórmula do nível de intensidade: β = 10·log₁₀(I/I₀)

O que queremos: o nível de intensidade sonora em decibéis (dB)

Passo 1 — Montar a razão entre as intensidades

A fórmula do nível sonoro exige a razão I/I₀, que compara a intensidade do som com o limiar de audibilidade. Precisamos calcular essa razão primeiro, porque o logaritmo atua sobre ela, não sobre as intensidades separadamente.

Por que esta fórmula: A definição de decibel é β = 10·log₁₀(I/I₀), então o primeiro passo é sempre montar a fração com os valores dados.

II0=10−410−12\frac{I}{I_0} = \frac{10^{-4}}{10^{-12}}

De onde vem cada valor: II = enunciado: 10⁻⁴ W/m² · I0I_0 = enunciado: 10⁻¹² W/m²

(10^-4)/(10^-12) = 10^-4-(-12) = 10^8 = 10\ ^8
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer que dividir potências de mesma base subtrai os expoentes: 10⁻⁴ / 10⁻¹² = 10⁻⁴⁻⁽⁻¹²⁾ = 10⁸, e não 10⁻¹⁶ ou 10⁴.

Passo 2 — Calcular o logaritmo na base 10

Com a razão simplificada para uma potência de 10, o logaritmo na base 10 fica trivial: ele é exatamente o expoente. Isso é a essência da escala logarítmica — transformar multiplicações em somas e potências em multiplicações.

Por que esta fórmula: A definição de logaritmo: log₁₀(10ᵏ) = k, pois 10ᵏ = 10ᵏ. Aqui k = 8.

log⁡10(108)=8\log_{10}(10^{8}) = 8

De onde vem cada valor: 10810^{8} = passo 1: razão I/I₀

log⁡10(108)=8\log_{10}(10^{8}) = \boxed{8}
NÃO CAIA NESSA!

Tentar aplicar o logaritmo à diferença das intensidades (log(10⁻⁴ - 10⁻¹²)) — o logaritmo só se aplica à razão, não à subtração.

Passo 3 — Multiplicar pelo fator 10

A fórmula do nível sonoro tem o fator 10 multiplicando o logaritmo, que é o que define a unidade decibel. Sem esse fator, teríamos o valor em bel, que não é o que a questão pede.

Por que esta fórmula: β = 10·log₁₀(I/I₀) — o 10 é parte da definição de decibel.

β=10×8\beta = 10 \times 8

De onde vem cada valor: 1010 = fórmula do enunciado · 88 = passo 2: logaritmo calculado

β=10×8=80 dB\beta = 10 \times 8 = \boxed{80\ \text{dB}}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de multiplicar por 10 e responder 8 dB — isso seria o valor em bel, não em decibel.

Resposta: 80 dB — alternativa C

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