O gráfico a seguir representa uma função trigonométrica no intervalo [0, 2]:
A expressão algébrica dessa função é f(x) = a + b . cosx.
Os valores de a e b são, respectivamente,
GabaritoB — 2 e 3.
Gabarito: letra B — a conta chega a a = 2 e b = 3 — alternativa B.
A função cosseno é uma onda que oscila entre -1 e 1, repetindo-se a cada 2π. Quando escrevemos f(x) = a + b·cos(x), estamos transformando essa onda: o número b estica ou encolhe a onda na vertical (define a amplitude), e o número a desloca a onda inteira para cima ou para baixo (define o eixo médio).
Como cos(x) varia entre -1 e 1, o termo b·cos(x) varia entre -b e b. Assim, o valor máximo de f é a + b (quando cos(x) = 1) e o mínimo é a - b (quando cos(x) = -1). Se b for positivo, a amplitude é b; se for negativo, a onda fica invertida, mas a amplitude é |b|. O valor de a é sempre o ponto central da oscilação.
Esta questão fornece o gráfico e pede para descobrir a e b. Basta ler do gráfico o valor máximo e o mínimo, montar um sistema com as duas relações acima e resolvê-lo.
gráfico de f(x) = a + b·cos(x) no intervalo [0, 2π]
valor máximo da função = 5 (lido do gráfico)
valor mínimo da função = -1 (lido do gráfico)
O que queremos: os valores de a e b
O gráfico mostra a função oscilando; o ponto mais alto e o mais baixo são as informações que conectam a figura com a fórmula. No gráfico, o máximo é 5 e o mínimo é -1.
máximo = 5, mínimo = -1
Confundir o eixo médio com o máximo, ou ler os valores trocados.
Sabemos que o máximo ocorre quando cos(x) = 1 e o mínimo quando cos(x) = -1. Isso transforma a fórmula em duas equações simples, que relacionam a e b com os valores lidos.
Por que esta fórmula: Substituindo cos(x) = 1 na expressão, obtemos f(x) = a + b, que é o máximo. Substituindo cos(x) = -1, obtemos f(x) = a - b, que é o mínimo. Essas duas equações formam o sistema.
De onde vem cada valor: = passo 1: valor máximo · = passo 1: valor mínimo
Esquecer que o mínimo é a - b, não b - a.
O sistema tem duas incógnitas; somar as equações elimina b, deixando apenas a. Isso é o método mais direto.
Por que esta fórmula: Ao somar (a + b) com (a - b), o b se anula: 2a = 4. Isso isola a.
De onde vem cada valor: = constante: soma de a + a · = constante: soma de 5 + (-1)
Errar a soma: 5 + (-1) = 4, não 6.
Com a conhecido, qualquer uma das equações do sistema dá b. Usar a primeira é mais simples.
Por que esta fórmula: Na equação a + b = 5, trocamos a por 2 e isolamos b.
De onde vem cada valor: = passo 2: primeira equação · = passo 3: 2
Usar a segunda equação e errar o sinal: a - b = -1 → 2 - b = -1 → b = 3, mas é fácil trocar para b = -3.
Resposta: a = 2 e b = 3 — alternativa B
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