Questão de Matemática — Sistemas Lineares — FGV 2025

Representação matricial de sistemas lineares

Gabarito: letra E. A equação matricial que representa o sistema é $A \cdot X = B$, em que $A$ é a matriz dos coeficientes (2×4), $X$ é a matriz coluna das incógnitas (4×1) e $B$ é a matriz coluna dos termos independentes (2×1). Na alternativa E, a matriz dos coeficientes é $\begin{bmatrix} 2&1&-3&1\\4&6&0&-5 \end{bmatrix}$, a matriz das incógnitas é $\begin{bmatrix} x\\y\\z\\w \end{bmatrix}$ e a matriz dos termos independentes é $\begin{bmatrix} -7\\-5 \end{bmatrix}$ — exatamente a forma correta.

Um sistema linear é um conjunto de equações lineares, e uma de suas representações mais úteis é a forma matricial. Nela, organizamos os coeficientes das incógnitas em uma matriz (chamada matriz dos coeficientes), as incógnitas em uma matriz coluna e os termos independentes em outra matriz coluna. A equação matricial resultante é $A \cdot X = B$, onde o produto $A \cdot X$ reproduz, linha a linha, as equações do sistema.

No sistema dado, temos duas equações e quatro incógnitas ($x, y, z, w$). A primeira equação é $2x + y - 3z + w = -7$ e a segunda é $4x + 6y - 5w = -5$. Observe que, na segunda equação, a incógnita $z$ não aparece — isso significa que seu coeficiente é zero. Esse detalhe é crucial: a matriz dos coeficientes deve ter o número 0 na posição correspondente a $z$ na segunda linha.

Vamos montar a matriz dos coeficientes. Na primeira linha, os coeficientes de $x, y, z, w$ são, respectivamente, $2, 1, -3, 1$. Na segunda linha, os coeficientes são $4, 6, 0, -5$ (o coeficiente de $z$ é 0, pois a equação não tem o termo $z$). Portanto, a matriz dos coeficientes é $\begin{bmatrix} 2&1&-3&1\\4&6&0&-5 \end{bmatrix}$.

A matriz das incógnitas deve ser uma coluna com as quatro incógnitas: $\begin{bmatrix} x\\y\\z\\w \end{bmatrix}$. A matriz dos termos independentes também deve ser uma coluna, com os valores $-7$ e $-5$: $\begin{bmatrix} -7\\-5 \end{bmatrix}$. A multiplicação $A \cdot X$ resulta em uma matriz 2×1, que é exatamente o formato de $B$.

A pegadinha desta questão está em dois pontos: (1) o coeficiente zero da incógnita $z$ na segunda equação — muitos candidatos colocam $-5$ no lugar errado ou esquecem o zero; (2) a orientação das matrizes — as incógnitas e os termos independentes devem ser matrizes coluna, não linha. A banca explora exatamente essas confusões nas alternativas.

Guarde o critério decisivo: a matriz dos coeficientes deve ter os zeros explícitos, e as matrizes de incógnitas e de termos independentes devem ser colunas. É nesses dois pontos que as alternativas se dividem.

Alternativa A — ❌ Incorreta

A matriz dos coeficientes está errada: apresenta $-5$ na posição da incógnita $z$ na segunda linha, mas o correto é $0$, pois a segunda equação não tem o termo $z$. Além disso, a matriz das incógnitas está como linha ($\begin{bmatrix} x&y&z&w \end{bmatrix}$), quando deveria ser coluna.

Alternativa B — ❌ Incorreta

A matriz dos coeficientes está correta ($\begin{bmatrix} 2&1&-3&1\\4&6&0&-5 \end{bmatrix}$), mas a matriz das incógnitas está como linha ($\begin{bmatrix} x&y&z&w \end{bmatrix}$), quando deveria ser coluna. O produto $A \cdot X$ não seria compatível com a matriz $B$.

Alternativa C — ❌ Incorreta

A matriz dos coeficientes está errada (mesmo erro da alternativa A: $-5$ no lugar de $0$ para $z$), e a matriz das incógnitas está como linha. Além disso, a matriz dos termos independentes está como linha ($\begin{bmatrix} -7&-5 \end{bmatrix}$), quando deveria ser coluna.

Alternativa D — ❌ Incorreta

A matriz dos coeficientes está errada (mesmo erro da alternativa A: $-5$ no lugar de $0$ para $z$). Embora as matrizes de incógnitas e de termos independentes estejam como colunas, o erro na matriz dos coeficientes invalida a alternativa.

Alternativa E — ✅ Correta ⟵ GABARITO

A matriz dos coeficientes é $\begin{bmatrix} 2&1&-3&1\\4&6&0&-5 \end{bmatrix}$, com o zero explícito para $z$ na segunda equação. A matriz das incógnitas é a coluna $\begin{bmatrix} x\\y\\z\\w \end{bmatrix}$ e a matriz dos termos independentes é a coluna $\begin{bmatrix} -7\\-5 \end{bmatrix}$. O produto $A \cdot X$ reproduz exatamente as duas equações do sistema.

Gabarito: letra E