GabaritoB — I e III.
Gabarito: letra B — um sistema de duas equações com duas variáveis que apresenta dois pares ordenados como solução é geometricamente representado por uma reta e uma parábola que se intersectam em dois pontos (figura I) ou por duas parábolas que se intersectam em dois pontos (figura III). A figura II (duas retas concorrentes) representa um sistema com solução única, e a figura IV (duas retas paralelas) representa um sistema impossível.
Para entender por que a resposta é a letra B, precisamos revisar o que significa geometricamente cada tipo de sistema linear. Um sistema de duas equações com duas variáveis ( e ) pode ser interpretado como a interseção de duas curvas no plano cartesiano. Cada equação do sistema representa uma curva, e os pontos de interseção dessas curvas são exatamente as soluções do sistema.
Quando as duas equações são lineares (do tipo ), cada uma representa uma reta. As possibilidades são:
Retas concorrentes (um único ponto de interseção): sistema possível e determinado (solução única).
Retas coincidentes (infinitos pontos de interseção): sistema possível e indeterminado (infinitas soluções).
Retas paralelas distintas (nenhum ponto de interseção): sistema impossível (nenhuma solução).
No entanto, o enunciado afirma que o sistema tem dois pares ordenados como solução. Isso não pode ocorrer com duas retas, pois duas retas só podem se intersectar em zero, um ou infinitos pontos. Para ter exatamente dois pontos de interseção, pelo menos uma das equações deve representar uma curva que não seja uma reta — como uma parábola (equação do 2º grau).
Assim, as representações geométricas possíveis para um sistema com duas soluções são:
Reta e parábola que se intersectam em dois pontos (figura I).
Duas parábolas que se intersectam em dois pontos (figura III).
A figura II mostra duas retas concorrentes, que têm apenas um ponto em comum — isso representaria um sistema com solução única, não duas. A figura IV mostra duas retas paralelas, que não se intersectam — isso representaria um sistema impossível, sem solução.
Portanto, as figuras I e III são as únicas que podem representar um sistema com dois pares ordenados como solução.
A alternativa A afirma que as figuras I e II são possíveis. A figura II (duas retas concorrentes) representa um sistema com solução única, não com duas soluções. Duas retas concorrentes se intersectam em exatamente um ponto, o que corresponde a um sistema possível e determinado. Como o enunciado pede um sistema com dois pares ordenados, a figura II não se encaixa.
A alternativa B afirma que as figuras I e III são possíveis. A figura I mostra uma reta e uma parábola que se intersectam em dois pontos — isso representa um sistema com duas soluções. A figura III mostra duas parábolas que se intersectam em dois pontos — também representa um sistema com duas soluções. Ambas as figuras são compatíveis com a condição do enunciado.
A alternativa C afirma que as figuras I e IV são possíveis. A figura IV mostra duas retas paralelas, que não se intersectam — isso representa um sistema impossível, sem solução. Como o enunciado pede um sistema com duas soluções, a figura IV não se encaixa.
A alternativa D afirma que as figuras II e III são possíveis. A figura II (duas retas concorrentes) representa um sistema com solução única, não com duas soluções. A figura III (duas parábolas) pode representar um sistema com duas soluções, mas a figura II não. Portanto, a combinação está incorreta.
A alternativa E afirma que as figuras II e IV são possíveis. A figura II (duas retas concorrentes) representa um sistema com solução única, e a figura IV (duas retas paralelas) representa um sistema impossível. Nenhuma das duas representa um sistema com duas soluções. Portanto, a combinação está incorreta.
Gabarito: letra B
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