A seguinte matriz quadrada M = (mij)3×3 foi construída de tal maneira que mi3 = mi1 - mi2, ∀i ∈ {1,2,3}
M = \begin{bmatrix} 147 & 116 & 31 \\ 158 & 127 & 31 \\ 271 & 240 & 31 \end{bmatrix}
O determinante de M vale
GabaritoA — 0.
Gabarito: letra A — a conta chega a 0 — alternativa A.
O determinante é um número associado a uma matriz quadrada que resume, em um só valor, várias propriedades dela. Uma das mais importantes é a que liga o determinante à dependência linear: se uma linha (ou coluna) é combinação linear de outras, o determinante é zero. Isso acontece porque, ao combinar linhas, uma delas pode virar toda nula, e determinante com linha nula é zero.
A propriedade central é: se uma coluna é combinação linear das demais, as colunas não são independentes e o determinante se anula. No caso, a terceira coluna é exatamente a primeira menos a segunda, ou seja, C3 = C1 - C2. Isso vale para qualquer matriz que tenha essa relação, independentemente dos números específicos.
Esta questão testa justamente essa propriedade: em vez de calcular o determinante por Sarrus, basta perceber a relação entre as colunas. A matriz foi construída de propósito para que a terceira coluna seja a diferença das duas primeiras.
matriz M = [[147, 116, 31], [158, 127, 31], [271, 240, 31]]
condição: mi3 = mi1 - mi2 para i = 1, 2, 3
O que queremos: o determinante da matriz M
Antes de sair calculando, vale olhar para a estrutura da matriz. O enunciado já avisa que mi3 = mi1 - mi2, ou seja, cada elemento da terceira coluna é a diferença entre o elemento da primeira e o da segunda, na mesma linha. Isso significa que a terceira coluna é uma combinação linear das duas primeiras.
Não perceber a relação e partir direto para o cálculo completo, perdendo tempo.
Quando uma coluna é combinação linear das outras, as colunas não são independentes, e o determinante é zero. Essa é uma propriedade fundamental dos determinantes, que evita qualquer conta.
Por que esta fórmula: A propriedade diz: se uma linha ou coluna é combinação linear das demais, o determinante é nulo. Aqui, C3 = C1 - C2, então a terceira coluna é combinação linear das duas primeiras.
De onde vem cada valor: = enunciado: matriz dada
Tentar calcular por Sarrus e errar nas contas, quando a propriedade já resolve.
Resposta: 0 — alternativa A
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