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Questão de Matemática — Comprimento da Circunferência e do Arco de Circunferência — FGV 2025

MatemáticaComprimento da Circunferência e do Arco de Circunferência
Código
fg168007
Banca
FGV
Órgão
PM SP
Ano
2025
Cargo
Alun Of ( )

A figura ilustra duas circunferências concêntricas, de centro em O, sobre as quais se constrói um circuito fechado ABCDA, formado pelos segmentos de reta AB e CD, intercalados por dois arcos de circunferência AD e BC.

 

Imagem associada para resolução da questão

 

Os pontos A e D pertencem à circunferência de raio 5 cm e os pontos B e C, à circunferência de raio 2 cm. O arco AD mede 240° e os prolongamentos de AB e CD contêm o ponto O.

 

Considerando-se π\pi igual a 3, o comprimento do circuito completo é

  1. A20 cm.
  2. B24 cm.
  3. C27 cm.
  4. D30 cm.
  5. E36 cm.
Revelar gabarito e comentário

GabaritoD — 30 cm.

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Resolução

Gabarito: letra D — a conta chega a 30 cm — alternativa D.

A ideia por trás

O comprimento de uma circunferência é a distância ao longo de sua volta completa, e um arco é um pedaço dela. Para medir um arco, usamos o ângulo central que ele enxerga: um arco de 360° é a circunferência inteira, um de 180° é metade, e assim por diante. A unidade é o centímetro, e o valor depende diretamente do raio e do ângulo.

O comprimento de um arco é uma fração da circunferência: ℓ = (α/360°) · 2πr. Aqui, α é o ângulo central em graus e r é o raio. Se o ângulo dobra, o arco dobra; se o raio dobra, o arco também dobra. Vale para qualquer arco, desde que o ângulo seja medido em graus e o raio na mesma unidade do comprimento.

Esta questão mistura segmentos de reta (que são diferenças de raios) com arcos de circunferência. O ponto delicado é identificar qual ângulo cada arco do circuito realmente percorre, pois o arco BC não é o mesmo que o arco AD em ângulo.

O que a questão dá

  • raio da circunferência externa = 5 cm

  • raio da circunferência interna = 2 cm

  • arco AD = 240°

  • π = 3

O que queremos: o comprimento total do circuito fechado ABCDA

Passo 1 — Calcular o comprimento dos segmentos AB e CD

O circuito é formado por quatro partes: dois segmentos retos e dois arcos. Os segmentos AB e CD ligam um ponto da circunferência externa a um ponto da interna, e como seus prolongamentos passam pelo centro O, eles são partes de raios. A distância entre as duas circunferências ao longo de um raio é a diferença entre os raios.

Por que esta fórmula: Cada segmento é a diferença entre o raio maior e o raio menor, pois está sobre uma reta que passa pelo centro.

AB=CD=R−rAB = CD = R - r

De onde vem cada valor: RR = enunciado: raio da circunferência externa = 5 cm · rr = enunciado: raio da circunferência interna = 2 cm

AB=CD=5−2=3 cmcadaAB = CD = 5 - 2 = \boxed{3\ \text{cm} \text{cada}}
NÃO CAIA NESSA!

Somar os raios em vez de subtrair, obtendo 7 cm

Passo 2 — Descobrir o ângulo do arco BC

O arco AD mede 240°, mas o circuito percorre o arco BC pelo lado de dentro, que é o arco menor entre os mesmos raios. Como uma volta completa tem 360°, o arco menor é o complementar.

Por que esta fórmula: O ângulo central total é 360°. Se o arco maior (AD) mede 240°, o arco menor (BC) mede a diferença.

αBC=360°−αAD\alpha_{BC} = 360° - \alpha_{AD}

De onde vem cada valor: αAD\alpha_{AD} = enunciado: 240°

αBC=360°−240°=120 ∘\alpha_{BC} = 360° - 240° = \boxed{120\ ^\circ}
NÃO CAIA NESSA!

Usar 240° para o arco BC, esquecendo que o circuito percorre o arco menor

Passo 3 — Calcular o comprimento do arco AD

O arco AD é um pedaço da circunferência externa. Usamos a fórmula do arco com o ângulo de 240° e o raio de 5 cm.

Por que esta fórmula: O comprimento do arco é a fração do ângulo sobre 360° vezes o comprimento total da circunferência (2πr).

ℓAD=αAD360°⋅2πR\ell_{AD} = \frac{\alpha_{AD}}{360°} \cdot 2\pi R

De onde vem cada valor: αAD\alpha_{AD} = enunciado: 240° · RR = enunciado: 5 cm · π\pi = enunciado: 3

ℓAD=240360⋅2⋅3⋅5=20 cm\ell_{AD} = \frac{240}{360} \cdot 2 \cdot 3 \cdot 5 = \boxed{20\ \text{cm}}
NÃO CAIA NESSA!

Usar o raio interno (2 cm) para o arco AD

Passo 4 — Calcular o comprimento do arco BC

O arco BC é um pedaço da circunferência interna, com ângulo de 120° e raio de 2 cm.

Por que esta fórmula: Mesma fórmula do arco, agora com o raio interno e o ângulo do passo 2.

ℓBC=αBC360°⋅2πr\ell_{BC} = \frac{\alpha_{BC}}{360°} \cdot 2\pi r

De onde vem cada valor: αBC\alpha_{BC} = passo 2: 120° · rr = enunciado: 2 cm · π\pi = enunciado: 3

ℓBC=120360⋅2⋅3⋅2=4 cm\ell_{BC} = \frac{120}{360} \cdot 2 \cdot 3 \cdot 2 = \boxed{4\ \text{cm}}
NÃO CAIA NESSA!

Usar 240° para o arco BC, o que daria 8 cm e levaria a um total errado

Passo 5 — Somar todas as partes do circuito

O comprimento total é a soma dos dois segmentos e dos dois arcos, pois o circuito é fechado e não há sobreposição.

Por que esta fórmula: O perímetro de um caminho fechado é a soma dos comprimentos de cada trecho.

L=AB+BC+CD+ADL = AB + BC + CD + AD

De onde vem cada valor: ABAB = passo 1: 3 cm · BCBC = passo 4: 4 cm · CDCD = passo 1: 3 cm · ADAD = passo 3: 20 cm

L=3+4+3+20=30 cmL = 3 + 4 + 3 + 20 = \boxed{30\ \text{cm}}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de somar um dos segmentos ou usar o arco BC errado

Resposta: 30 cm — alternativa D

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