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Questão de Matemática — Cálculo de Seno e Cosseno no Triângulo Retângulo — FGV 2025

MatemáticaCálculo de Seno e Cosseno no Triângulo Retângulo
Código
fg168009
Banca
FGV
Órgão
PM SP
Ano
2025
Cargo
Alun Of ( )
Um indivíduo está de pé sobre uma rua horizontal olhando fixamente para o topo de um poste vertical de 6 metros de altura. Quando o indivíduo estava em uma posição em que o ângulo de elevação do seu olhar era 30, ele caminhou 5 metros na direção do poste, se aproximando deste, até parar no ponto em que o ângulo de elevação do olhar passou a ser de 60.   Considerando-se 1,7 como aproximação para a 3\sqrt {3}, é correto afirmar que a altura dos olhos do indivíduo, em metros, é
  1. A1,65.
  2. B1,75.
  3. C1,80.
  4. D1,85.
  5. E1,90.
Revelar gabarito e comentário

GabaritoB — 1,75.

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Resolução

Gabarito: letra B — a conta chega a 1,75 m — alternativa B.

A ideia por trás

Num triângulo retângulo, a tangente de um ângulo agudo é a razão entre o cateto oposto a ele e o cateto adjacente. Ela mede o quanto a altura cresce para cada unidade de distância horizontal, e é a ferramenta certa quando conhecemos um ângulo e uma distância e queremos achar outra distância.

A tangente de um ângulo é constante para aquele ângulo, independentemente do tamanho do triângulo. Para 30° vale √3/3 (aproximadamente 0,577) e para 60° vale √3 (aproximadamente 1,7). Isso significa que, a 30°, a altura sobe cerca de 0,577 m por metro de distância; a 60°, sobe 1,7 m por metro. Quanto maior o ângulo, mais íngreme a subida.

Aqui temos dois triângulos retângulos formados pelo poste, o chão e a linha de visão do observador. A altura que interessa em cada um é a diferença entre a altura do poste e a altura dos olhos, pois é essa diferença que o observador enxerga acima do seu nível. Montamos duas tangentes e resolvemos o sistema.

O que a questão dá

  • altura do poste = 6 m

  • ângulo inicial de elevação = 30°

  • ângulo final de elevação = 60°

  • distância caminhada = 5 m

  • √3 ≈ 1,7

O que queremos: a altura dos olhos do indivíduo

Passo 1 — Montar a tangente do primeiro ângulo

Antes de qualquer conta, precisamos traduzir a situação em equações. No primeiro momento, o observador está a uma distância d do poste e vê o topo sob 30°. O cateto oposto a esse ângulo é a parte do poste acima dos olhos, que vale 6 - h, e o cateto adjacente é a distância horizontal d.

Por que esta fórmula: A tangente é a razão entre o cateto oposto e o adjacente. Como conhecemos o ângulo e queremos relacionar as distâncias, essa é a relação natural.

tan⁡30°=6−hd\tan 30° = \frac{6 - h}{d}

De onde vem cada valor: 6−h6 - h = definição: altura do poste (6 m) menos a altura dos olhos (h, incógnita) · dd = definição: distância inicial do observador ao poste (incógnita)

33=6−hd\frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{6 - h}{d}
NÃO CAIA NESSA!

Usar 6 como cateto oposto, esquecendo de subtrair a altura dos olhos — isso leva a um resultado errado.

Passo 2 — Montar a tangente do segundo ângulo

Depois de caminhar 5 m, a distância horizontal diminui para d - 5 e o ângulo passa a 60°. O cateto oposto continua sendo 6 - h, pois a altura dos olhos não muda. Precisamos dessa segunda equação para ter duas relações com as duas incógnitas d e h.

Por que esta fórmula: Mesma definição de tangente, agora aplicada ao novo triângulo.

tan⁡60°=6−hd−5\tan 60° = \frac{6 - h}{d - 5}

De onde vem cada valor: 6−h6 - h = passo 1 · d−5d - 5 = definição: distância inicial (d) menos os 5 m caminhados

3=6−hd−5\sqrt{3} = \frac{6 - h}{d - 5}
NÃO CAIA NESSA!

Somar 5 em vez de subtrair, pois ele se aproximou do poste.

Passo 3 — Isolar a distância inicial na primeira equação

Temos duas equações e duas incógnitas. Para resolver, isolamos d na primeira e substituímos na segunda, eliminando uma incógnita.

Por que esta fórmula: Da equação do passo 1, multiplicamos ambos os lados por d e depois dividimos por √3/3, o que equivale a multiplicar por 3/√3 = √3.

d=3(6−h)d = \sqrt{3}(6 - h)

De onde vem cada valor: 3\sqrt{3} = constante: √3 = 3/√3, inverso de tan 30° · 6−h6 - h = passo 1

d=3(6−h)d = \sqrt{3}(6 - h)
NÃO CAIA NESSA!

Inverter a fração e obter d = (6-h)/√3, o que troca os papéis.

Passo 4 — Substituir d na segunda equação

Agora que d está em função de h, substituímos na equação do passo 2 para ficar com uma única incógnita.

Por que esta fórmula: Substituição direta: onde aparecia d, colocamos √3(6-h).

3=6−h3(6−h)−5\sqrt{3} = \frac{6 - h}{\sqrt{3}(6 - h) - 5}

De onde vem cada valor: 3(6−h)\sqrt{3}(6 - h) = passo 3 · 55 = enunciado: distância caminhada = 5 m

3=6−h3(6−h)−5\sqrt{3} = \frac{6 - h}{\sqrt{3}(6 - h) - 5}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer o -5 no denominador.

Passo 5 — Resolver a equação para h

Com uma equação só, isolamos h. Multiplicamos ambos os lados pelo denominador, distribuímos e juntamos os termos com h.

Por que esta fórmula: Multiplicação cruzada e manipulação algébrica padrão.

h=12−532h = \frac{12 - 5\sqrt{3}}{2}

De onde vem cada valor: 1212 = constante: resultado de 18 - 6 após a manipulação · 535\sqrt{3} = constante: termo que veio do -5√3 · 22 = constante: coeficiente de h após juntar os termos

h=12−532h = \frac{12 - 5\sqrt{3}}{2}
NÃO CAIA NESSA!

Errar o sinal ao passar termos de lado, resultando em 12 + 5√3.

Passo 6 — Calcular o valor numérico de h

Agora substituímos √3 pelo valor aproximado dado no enunciado e fazemos a aritmética final.

Por que esta fórmula: Substituição direta na expressão do passo 5.

h=12−5×1,72h = \frac{12 - 5 \times 1{,}7}{2}

De onde vem cada valor: 1212 = passo 5 · 55 = passo 5 · 1,71{,}7 = enunciado: √3 ≈ 1,7 · 22 = passo 5

h=12−8,52=1,75 mh = \frac{12 - 8{,}5}{2} = \boxed{1{,}75\ \text{m}}
NÃO CAIA NESSA!

Usar √3 = 1,73 em vez de 1,7, o que daria 1,675 e não está nas alternativas.

Resposta: 1,75 m — alternativa B

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