Questão de Matemática — Análise Combinatória (Princípio Fundamental da Contagem, Arranjos, Combinações, Permutações) — FGV 2025
Matemática›Análise Combinatória (Princípio Fundamental da Contagem, Arranjos, Combinações, Permutações)
Código
fg168011
Banca
FGV
Órgão
Pref SJC
Ano
2025
Cargo
Ana GM ( )
Nos seis quadradinhos da figura abaixo deverão ser colocadas quatro letras A e duas letras B, uma letra em cada quadradinho. Se as duas letras B não ficam juntas, o número de maneiras em que essas seis letras podem ficar dispostas é
A25.
B20.
C15.
D12.
E10.
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GabaritoE — 10.
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Resolução
Gabarito: letra E — a conta chega a 10 maneiras — alternativa E.
A ideia por trás
Análise combinatória é a parte da matemática que conta de quantas maneiras diferentes podemos organizar ou escolher elementos. Aqui temos 6 posições e vamos preencher com letras repetidas: 4 A e 2 B. Como as A são iguais entre si e as B também, o que importa é apenas escolher quais posições serão ocupadas pelas B — as A preenchem o resto automaticamente.
O número de maneiras de escolher 2 posições entre 6 é a combinação C(6,2) = 15. Mas essa contagem inclui os casos em que as duas B ficam juntas. Para excluir esses casos, usamos o princípio da subtração: contamos o total e subtraímos o que não queremos. Alternativamente, existe um truque direto para contar escolhas não consecutivas: transformar o problema em escolher 2 posições entre 5, o que dá C(5,2) = 10.
Esta questão cobra exatamente a contagem com restrição de não consecutividade. Vamos primeiro calcular o total de disposições e depois subtrair os casos proibidos.
O que a questão dá
4 letras A
2 letras B
as duas letras B não podem ficar juntas
O que queremos: o número de maneiras de dispor as letras sem que as duas B fiquem juntas
Passo 1 — Calcular o total de disposições sem restrição
Antes de aplicar a restrição, precisamos saber quantas maneiras existem de dispor as letras se nada fosse proibido. Isso nos dá a base para depois subtrair os casos em que as B ficam juntas.
Por que esta fórmula: Como temos 6 posições e letras repetidas (4 A e 2 B), o número de anagramas é dado pela permutação com repetição: 6! dividido pelo fatorial das repetições.
De onde vem cada valor: = constante: 6! = 720 · = enunciado: 4 letras A · = enunciado: 2 letras B
NÃO CAIA NESSA!
Esquecer de dividir pelas repetições e calcular 6! = 720, o que daria um número muito maior.
Passo 2 — Contar os casos em que as B ficam juntas
Agora precisamos saber quantas disposições têm as duas B juntas, para subtraí-las do total. Tratar as duas B como um bloco único simplifica a contagem.
Por que esta fórmula: Se as duas B formam um bloco, temos 5 objetos: o bloco BB e as 4 A. Como as A são idênticas, o número de maneiras de organizar esses 5 objetos é 5! dividido por 4!.
De onde vem cada valor: = passo 1: 5 objetos (bloco BB + 4 A) · = enunciado: 4 letras A idênticas
NÃO CAIA NESSA!
Contar as posições do bloco BB como 6, esquecendo que o bloco ocupa duas posições consecutivas e só pode começar nas posições 1 a 5.
Passo 3 — Subtrair os casos proibidos do total
O total de disposições inclui tanto as que têm B juntas quanto as que não têm. Para obter apenas as que não têm B juntas, subtraímos os casos proibidos.
Por que esta fórmula: É o princípio da subtração: total - casos indesejados = casos desejados.
De onde vem cada valor: = passo 1: total de disposições · = passo 2: casos com B juntas
