Questão de Matemática — Quadriláteros (Propriedades, Área, Perímetro, Soma dos Ângulos, etc) — FGV 2025

Quadrado inscrito em quadrado: razão entre áreas

Gabarito: letra A — a razão entre a área do quadrado ABCD e a área do quadrado EFGH é $\frac{5}{9}$. O lado do quadrado externo EFGH mede 6 (pois EA = 4 e AF = 2), e o lado do quadrado interno ABCD é a hipotenusa de um triângulo retângulo de catetos 4 e 2, ou seja, $\sqrt{20} = 2\sqrt{5}$. Como a área do quadrado é o quadrado do lado, a razão pedida é $\frac{(2\sqrt{5})^2}{6^2} = \frac{20}{36} = \frac{5}{9}$.

O problema descreve uma configuração clássica de geometria plana: um quadrado inscrito em outro, com cada vértice do quadrado interno tocando um lado do quadrado externo. A chave para resolver é perceber que o quadrado interno não está alinhado com o externo — ele está "rotacionado". Isso significa que o lado do quadrado interno não é paralelo ao lado do externo, e não podemos simplesmente subtrair segmentos.

Para encontrar o lado do quadrado interno, precisamos usar o Teorema de Pitágoras. Observe que o vértice A divide o lado EF do quadrado externo em dois segmentos: EA = 4 e AF = 2. Isso nos dá o lado do quadrado externo: $EF = EA + AF = 4 + 2 = 6$. Agora, o lado AB do quadrado interno é a hipotenusa de um triângulo retângulo cujos catetos são exatamente esses dois segmentos: um cateto mede 4 (EA) e o outro mede 2 (AF). Portanto, o lado do quadrado interno é $AB = \sqrt{4^2 + 2^2} = \sqrt{16 + 4} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$.

A área de um quadrado é dada pelo quadrado do seu lado. Assim, a área do quadrado ABCD é $(2\sqrt{5})^2 = 4 \times 5 = 20$, e a área do quadrado EFGH é $6^2 = 36$. A razão entre as áreas é, portanto, $\frac{20}{36}$, que simplificando por 4 resulta em $\frac{5}{9}$.

A pegadinha desta questão está em tentar resolver por diferença de áreas ou por proporção direta dos lados, sem perceber que o quadrado interno está rotacionado. Muitos candidatos podem erroneamente calcular o lado do quadrado interno como $6 - 4 = 2$ ou $6 - 2 = 4$, o que levaria a razões incorretas. A visualização correta da figura é essencial: o quadrado interno "gira" dentro do externo, e cada lado do interno forma um triângulo retângulo com os segmentos do lado do externo.

Guarde este padrão: quando um quadrado está inscrito em outro com os vértices sobre os lados, o lado do quadrado interno é sempre a hipotenusa de um triângulo retângulo formado pelos dois segmentos em que o vértice divide o lado do quadrado externo. É exatamente esse raciocínio que separa a alternativa correta das demais.

Alternativa A — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Esta é a resposta correta. O lado do quadrado externo é $EF = EA + AF = 4 + 2 = 6$. O lado do quadrado interno é a hipotenusa do triângulo retângulo de catetos 4 e 2, ou seja, $\sqrt{4^2 + 2^2} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$. A razão entre as áreas é $\frac{(2\sqrt{5})^2}{6^2} = \frac{20}{36} = \frac{5}{9}$.

Alternativa B — ❌ Incorreta

O valor $\frac{4}{9}$ seria obtido se o lado do quadrado interno fosse 4, o que não é o caso. Isso aconteceria se o quadrado interno estivesse alinhado com o externo e seu lado fosse igual a um dos segmentos (EA ou AF), ignorando a rotação. O lado correto é $2\sqrt{5}$, não 4.

Alternativa C — ❌ Incorreta

O valor $\frac{1}{3}$ é a razão entre os lados dos quadrados se o lado do interno fosse 2 (pois $\frac{2}{6} = \frac{1}{3}$), mas a razão entre áreas é o quadrado da razão entre lados. Como o lado do interno é $2\sqrt{5}$, a razão entre áreas é $\frac{20}{36} = \frac{5}{9}$, não $\frac{1}{3}$.

Alternativa D — ❌ Incorreta

O valor $\frac{2}{3}$ é a razão entre os lados se o lado do interno fosse 4 (pois $\frac{4}{6} = \frac{2}{3}$), mas novamente isso ignora a rotação. A razão entre áreas é $\frac{5}{9}$, não $\frac{2}{3}$.

Alternativa E — ❌ Incorreta

O valor $\frac{1}{2}$ seria a razão entre as áreas se o lado do quadrado interno fosse $3\sqrt{2}$ (pois $(3\sqrt{2})^2 = 18$ e $\frac{18}{36} = \frac{1}{2}$), mas o lado correto é $2\sqrt{5}$, cujo quadrado é 20. Portanto, a razão é $\frac{5}{9}$, não $\frac{1}{2}$.

Gabarito: letra A