Questão de Matemática — Análise Combinatória (Princípio Fundamental da Contagem, Arranjos, Combinações, Permutações) — FGV 2025
Matemática›Análise Combinatória (Princípio Fundamental da Contagem, Arranjos, Combinações, Permutações)
Código
fg168014
Banca
FGV
Órgão
Pref SJC
Ano
2025
Cargo
Ass TS ( )
Em uma fila de poltronas de um cinema há 6 poltronas vazias em sequência: Os irmãos André e Bruno e as amigas Maria, Nina e Paula vão ocupar 5 desses 6 lugares. Entretanto, as amigas querem se sentar juntas, ou seja, uma ao lado da outra. O número de maneiras diferentes em que as 5 pessoas podem se sentar é igual a
A96.
B120.
C144.
D180.
E216.
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GabaritoC — 144.
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Resolução
Gabarito: letra C — a conta chega a 144 maneiras — alternativa C.
A ideia por trás
A análise combinatória conta de quantas maneiras podemos organizar elementos. O princípio fundamental da contagem (PFC) diz que, se uma escolha tem m possibilidades e, para cada uma, outra tem n, o total é m × n. Quando um grupo precisa ficar junto, usamos a técnica do bloco: tratamos o grupo como um único elemento na hora de posicionar, e depois multiplicamos pelas permutações internas.
A relação central é o PFC: total = (posições do bloco) × (permutações internas do bloco) × (permutações dos demais). Cada fator é independente: o bloco pode ocupar várias posições consecutivas, os membros do bloco podem trocar de lugar entre si, e os outros elementos também. A ordem importa, então usamos fatorial para contar as trocas.
Esta questão cobra exatamente a técnica do bloco: as três amigas devem ficar juntas, então primeiro contamos onde o bloco pode começar, depois as trocas internas das amigas e as trocas de André e Bruno.
O que a questão dá
6 poltronas em sequência
5 pessoas: André, Bruno, Maria, Nina e Paula
as três amigas devem sentar juntas
O que queremos: o número de maneiras diferentes de as 5 pessoas ocuparem 5 das 6 poltronas, com as amigas juntas
Passo 1 — Contar as posições do bloco das amigas
As três amigas precisam ocupar três poltronas consecutivas. Como há 6 poltronas, o bloco pode começar na poltrona 1, 2, 3 ou 4 — se começasse na 5, precisaria das poltronas 5, 6 e 7, que não existe. Então há 4 posições possíveis para o bloco.
Por que esta fórmula: Não há fórmula: é uma contagem direta. O bloco ocupa 3 lugares, então o último começo possível é 6 - 3 + 1 = 4.
NÃO CAIA NESSA!
Contar apenas 3 posições, esquecendo que o bloco pode começar na poltrona 4 (ocupando 4-5-6).
Passo 2 — Permutar as amigas dentro do bloco
As três amigas são pessoas distintas, então dentro do bloco elas podem trocar de lugar. Para cada posição do bloco, há 3! maneiras de organizá-las.
Por que esta fórmula: Permutação de 3 elementos distintos: 3! = 3 × 2 × 1.
De onde vem cada valor: = constante: número de amigas (Maria, Nina e Paula)
NÃO CAIA NESSA!
Esquecer de multiplicar por 3!, tratando as amigas como se fossem idênticas.
Passo 3 — Permutar André e Bruno nas poltronas restantes
Depois de fixar o bloco, restam 2 poltronas vazias para André e Bruno. Eles são distintos, então podem se sentar de 2! maneiras.
Por que esta fórmula: Permutação de 2 elementos: 2! = 2 × 1.
De onde vem cada valor: = constante: número de pessoas fora do bloco (André e Bruno)
NÃO CAIA NESSA!
Esquecer de permutar André e Bruno, contando apenas 1 maneira.
Passo 4 — Multiplicar as possibilidades de cada etapa
Pelo princípio fundamental da contagem, as etapas são independentes: para cada posição do bloco, há 6 maneiras de arrumar as amigas e 2 de arrumar André e Bruno. O total é o produto.
Por que esta fórmula: PFC: total = posições do bloco × permutações internas × permutações externas.
De onde vem cada valor: = passo 1: posições do bloco · = passo 2: permutações das amigas · = passo 3: permutações de André e Bruno
NÃO CAIA NESSA!
Somar em vez de multiplicar, ou esquecer um dos fatores.
