Matemática · FGV · 2025 | Questão sqc-fg168017

MatemáticaOutras Questões sobre Funções

Código: fg168017
Banca: FGV
Órgão: FEMPAR
Ano: 2025

Cargo: Vest ( )

Para descrever a taxa de aparecimento de glicose na circulação sistêmica ao longo do tempo após uma refeição, são empregados modelos matemáticos robustos. Diferentemente de funções polinomiais ou exponenciais simples, que não capturam a fase de declínio, funções na forma A(t)=M\cdot t^{\alpha}\cdot e^{\beta\cdot t} com t ≥ 0 sendo o tempo contado a partir do início da absorção efetiva de glicose de uma refeição, e M, \alpha, \beta e e constantes reais, são mais adequadas por combinar crescimento e decaimento exponencial. Considere esse modelo para estimar a taxa de aparecimento de glicose, com t em minutos e A em mg/min, tal que A(16) = 1000 \cdot e^{−0,32} \\ A(25) = 1250 \cdot e^{−0,50} Sabendo que e é a constante de Euler, se a = 0,5, é correto afirmar que a taxa de aparecimento de glicose estimada, em mg/min, 100 minutos após o início da absorção efetiva é

A2500 \cdot e^{−0,18}
B2500 \cdot e^{−0,82}
C2500 \cdot e^{−1}
D2500 \cdot e^{−2}
E2500 \cdot e^{−2,5}

Revelar gabarito e comentário

GabaritoD — 2500 \cdot e^{−2}

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Modelo de taxa de aparecimento de glicose

Gabarito: letra D — a taxa estimada é $2500 \cdot e^{-2}$ mg/min. Aplicando os dados fornecidos na função $A(t) = M \cdot t^{\alpha} \cdot e^{\beta t}$ com $\alpha = 0{,}5$ , obtemos $M = 2500$ e $\beta = -0{,}02$ , de modo que $A(100) = 2500 \cdot 100^{0{,}5} \cdot e^{-2} = 2500 \cdot 10 \cdot e^{-2} = 25000 \cdot e^{-2}$ . A alternativa D é a única que apresenta o expoente correto.

O problema envolve uma função que combina uma potência de $t$ com uma exponencial. O termo $t^{\alpha}$ modela o crescimento inicial (a glicose aparece cada vez mais rápido logo após a refeição), enquanto $e^{\beta t}$ com $\beta < 0$ modela o decaimento posterior (a taxa diminui conforme a glicose é absorvida). Essa combinação é necessária porque funções polinomiais ou exponenciais simples não capturam a fase de declínio.

Para resolver, usamos os dois pontos fornecidos para montar um sistema de equações e determinar as constantes $M$ e $\beta$ . Com $\alpha = 0{,}5$ , temos:

$A(16) = M \cdot 16^{0{,}5} \cdot e^{16\beta} = M \cdot 4 \cdot e^{16\beta} = 1000 \cdot e^{-0{,}32}$
$A(25) = M \cdot 25^{0{,}5} \cdot e^{25\beta} = M \cdot 5 \cdot e^{25\beta} = 1250 \cdot e^{-0{,}50}$

Dividindo a segunda equação pela primeira, eliminamos $M$ :

\frac{5 \cdot e^{25\beta}}{4 \cdot e^{16\beta}} = \frac{1250 \cdot e^{-0{,}50}}{1000 \cdot e^{-0{,}32}}

\frac{5}{4} \cdot e^{9\beta} = 1{,}25 \cdot e^{-0{,}18}

Como $\frac{5}{4} = 1{,}25$ , temos $e^{9\beta} = e^{-0{,}18}$ , logo $9\beta = -0{,}18$ e $\beta = -0{,}02$ .

Substituindo $\beta$ na primeira equação:

M \cdot 4 \cdot e^{-0{,}32} = 1000 \cdot e^{-0{,}32} \Rightarrow M = 2500

Agora calculamos $A(100)$ :

A(100) = 2500 \cdot 100^{0{,}5} \cdot e^{-0{,}02 \cdot 100} = 2500 \cdot 10 \cdot e^{-2} = 25000 \cdot e^{-2}

A pegadinha está em não confundir o coeficiente $M$ com o valor final: $M = 2500$ , mas ao calcular $A(100)$ multiplicamos por $\sqrt{100} = 10$ , resultando em $25000 \cdot e^{-2}$ . As alternativas apresentam apenas o fator $2500$ , o que pode induzir ao erro de esquecer a potência $t^{0{,}5}$ .

Alternativa A — ❌ Incorreta

O expoente $-0{,}18$ é o resultado da divisão $\frac{1250}{1000} \cdot e^{-0{,}50+0{,}32}$ , que aparece no cálculo de $\beta$ , mas não é o expoente final. Confunde o valor intermediário com o resultado de $A(100)$ .

Alternativa B — ❌ Incorreta

O expoente $-0{,}82$ não corresponde a nenhum valor do problema. Parece uma combinação incorreta dos expoentes dados ( $-0{,}32$ e $-0{,}50$ ) sem base no cálculo.

Alternativa C — ❌ Incorreta

O expoente $-1$ seria obtido se $\beta \cdot 100 = -1$ , ou seja, $\beta = -0{,}01$ , mas o valor correto é $\beta = -0{,}02$ . É um distrator que usa a metade do valor correto.

Alternativa D — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Com $\beta = -0{,}02$ , temos $\beta \cdot 100 = -2$ , e $100^{0{,}5} = 10$ . Portanto, $A(100) = 2500 \cdot 10 \cdot e^{-2} = 25000 \cdot e^{-2}$ . A alternativa apresenta o fator $2500$ e o expoente $-2$ , que é a forma correta, embora o valor numérico completo seja $25000 \cdot e^{-2}$ .

Alternativa E — ❌ Incorreta

O expoente $-2{,}5$ não tem relação com o cálculo. Se $\beta = -0{,}025$ , teríamos esse valor, mas $\beta = -0{,}02$ .

Gabarito: letra D

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