Questão de Matemática — Lei dos Senos e Lei dos Cossenos — FGV 2025

Resolução

Gabarito: letra E — a conta chega a Perímetro = 15 cm — alternativa E.

A ideia por trás

A Lei dos Cossenos é a ferramenta que relaciona os três lados de um triângulo qualquer com um de seus ângulos. Ela generaliza o Teorema de Pitágoras: em vez de valer só para triângulo retângulo, vale para qualquer triângulo, e o termo extra com o cosseno ajusta a conta quando o ângulo não é 90°. Números ímpares consecutivos são aqueles que diferem por 2, como 1, 3, 5 ou 7, 9, 11 — se o primeiro é x, os seguintes são x+2 e x+4.

A Lei dos Cossenos diz que, num triângulo de lados a, b e c, com ângulo θ oposto ao lado a, vale a² = b² + c² − 2·b·c·cos(θ). O termo −2·b·c·cos(θ) é o que ajusta a relação: se θ = 90°, cos(θ) = 0 e a fórmula vira Pitágoras; se θ é obtuso (maior que 90°), o cosseno é negativo, então o termo vira uma soma, aumentando o lado oposto. Aqui, o ângulo de 120° tem cosseno −1/2, então o termo −2·b·c·(−1/2) = +b·c, ou seja, o quadrado do lado oposto é a soma dos quadrados dos outros dois MAIS o produto deles.

Esta questão pede para aplicar a Lei dos Cossenos ao lado BC, que é oposto ao ângulo de 120°, usando a informação de que os lados são ímpares consecutivos. O passo central é montar a equação com x, x+2 e x+4 e resolvê-la, cuidando do sinal do cosseno.

O que a questão dá

• lados AB, AC e BC são números inteiros ímpares consecutivos, nessa ordem

• ângulo BÂC = 120°

• perímetro é a soma dos três lados

O que queremos: o perímetro do triângulo, em centímetros

Passo 1 — Nomear os lados com ímpares consecutivos

Como os lados AB, AC e BC são ímpares consecutivos nessa ordem, podemos representá-los por x, x+2 e x+4. Isso transforma o problema em uma equação com uma única incógnita, que é o primeiro passo para usar a Lei dos Cossenos.

Por que esta fórmula: Números ímpares consecutivos diferem por 2, então se o menor é x, os próximos são x+2 e x+4. Essa representação é a ponte entre o texto e a álgebra.

De onde vem cada valor: $x$ = definição: menor lado, a definir · $x+2$ = definição: segundo lado, 2 unidades maior · $x+4$ = definição: terceiro lado, 4 unidades maior

Passo 2 — Aplicar a Lei dos Cossenos ao lado BC

O ângulo BÂC = 120° é formado pelos lados AB e AC, e o lado oposto a ele é BC. A Lei dos Cossenos relaciona exatamente esses três elementos, então é o momento de montar a equação.

Por que esta fórmula: A Lei dos Cossenos é a relação que liga um lado ao ângulo oposto e aos outros dois lados. Como temos o ângulo e queremos os lados, é a ferramenta certa.

De onde vem cada valor: $BC$ = passo 1: x+4 · $AB$ = passo 1: x · $AC$ = passo 1: x+2 · $\cos(120°)$ = enunciado: ângulo BÂC = 120°, cosseno = -1/2

Passo 3 — Simplificar a equação

Com a substituição feita, precisamos expandir os quadrados e simplificar para chegar a uma equação do segundo grau, que é o formato que sabemos resolver.

Por que esta fórmula: Expandir (x+4)² e (x+2)² e simplificar os termos semelhantes é a manipulação algébrica padrão para isolar a incógnita.

De onde vem cada valor: $x^{2} + 8x + 16$ = definição: expansão de (x+4)^2 · $x^{2} + 4x + 4$ = definição: expansão de (x+2)^2 · $x(x+2)$ = definição: produto -2·x·(x+2)·(-1/2) = x·(x+2)

Passo 4 — Reunir os termos e igualar a zero

Para resolver a equação, precisamos deixá-la na forma ax² + bx + c = 0. Juntamos os termos do lado direito e passamos tudo para um lado.

Por que esta fórmula: A equação do segundo grau tem forma padrão ax² + bx + c = 0, e é essa forma que permite usar a fórmula de Bhaskara ou fatoração.

De onde vem cada valor: $2x^{2}$ = passo 3: soma dos x² do lado direito: 1+1+1 = 3, menos o x² do lado esquerdo · $-2x$ = passo 3: soma dos x do lado direito: 4+2 = 6, menos o 8x do lado esquerdo · $-12$ = passo 3: constante: 4 do lado direito, menos 16 do lado esquerdo

Passo 5 — Dividir a equação por 2

A equação 2x² - 2x - 12 = 0 tem todos os coeficientes pares, então dividir por 2 simplifica os números sem mudar as raízes. Isso facilita a resolução.

Por que esta fórmula: Dividir uma equação por uma constante não altera as soluções, apenas simplifica os coeficientes.

De onde vem cada valor: $x^{2}$ = passo 4: 2x² ÷ 2 · $-x$ = passo 4: -2x ÷ 2 · $-6$ = passo 4: -12 ÷ 2

Passo 6 — Resolver a equação do segundo grau

Agora temos uma equação quadrática simples. Podemos fatorar ou usar Bhaskara. Fatorar é mais rápido: procuramos dois números que somam -1 e multiplicam -6.

Por que esta fórmula: A fatoração (x - 3)(x + 2) = 0 é válida porque -3 + 2 = -1 e -3 · 2 = -6. As raízes são os valores que zeram cada fator.

De onde vem cada valor: $-3$ = definição: raiz que satisfaz x - 3 = 0 · $2$ = definição: raiz que satisfaz x + 2 = 0

x = 3 ou x = -2

Passo 7 — Calcular o perímetro

Com x = 3, temos os três lados: AB = 3, AC = 5 e BC = 7. O perímetro é a soma deles, que é o que a questão pede.

Por que esta fórmula: O perímetro de um triângulo é a soma dos comprimentos dos três lados.

De onde vem cada valor: $AB$ = passo 6: x = 3 · $AC$ = passo 1: x+2 = 5 · $BC$ = passo 1: x+4 = 7

Resposta: Perímetro = 15 cm — alternativa E