GabaritoD — 3.
Gabarito: letra D — a conta chega a Existem 3 valores possíveis para o raio: 9, 21 e 49 — alternativa D.
A equação reduzida de uma circunferência é (x – x₀)² + (y – y₀)² = r², onde (x₀, y₀) é o centro e r é o raio. Ela diz que todos os pontos da circunferência estão a uma distância fixa r do centro. No plano cartesiano, a distância entre dois pontos (x₁, y₁) e (x₂, y₂) é √[(x₂ – x₁)² + (y₂ – y₁)²], e essa distância é a ferramenta para medir separações entre centros.
Duas circunferências são tangentes quando a distância entre seus centros é exatamente a soma dos raios (tangência externa) ou a diferença dos raios (tangência interna). Se a distância for maior que a soma, elas não se tocam; se for menor que a diferença, uma está dentro da outra sem tocar. A tangência externa acontece quando elas se encostam por fora, e a interna quando uma está dentro da outra encostando por dentro.
Esta questão pede para encontrar todos os raios de uma circunferência que toca os dois eixos e também a circunferência dada. Como ela toca os eixos, seu centro é (r, r), e a condição de tangência com a outra gera equações que precisam ser resolvidas para cada tipo de tangência.
circunferência dada: (x – 21)² + (y – 4)² = 16
C está no 1º quadrante e tangencia os dois eixos
O que queremos: a quantidade de valores possíveis para o raio da circunferência C
Para comparar distâncias e raios, precisamos saber onde está a circunferência fixa e qual o seu tamanho. A equação já está na forma reduzida, então basta ler os valores.
Por que esta fórmula: A forma (x – a)² + (y – b)² = R² tem centro (a, b) e raio R. Comparando com a equação dada, o centro é (21, 4) e o raio é a raiz quadrada de 16.
De onde vem cada valor: = enunciado: termo (x – 21)² · = enunciado: termo (y – 4)² · = enunciado: termo = 16
Esquecer de tirar a raiz quadrada de 16 e usar raio 16 em vez de 4.
Como C tangencia os dois eixos no 1º quadrante, a distância do centro até cada eixo é igual ao raio. No 1º quadrante, a distância ao eixo y é a coordenada x, e a distância ao eixo x é a coordenada y, então ambas valem r.
Por que esta fórmula: Não há fórmula nova: é a definição de distância de um ponto a um eixo. Para o eixo y, a distância é |x|; para o eixo x, é |y|. Como o centro está no 1º quadrante, x e y são positivos, então x = r e y = r.
De onde vem cada valor: = definição: raio de C, que é a incógnita
Colocar o centro como (r, 0) ou (0, r), esquecendo que ele toca os dois eixos ao mesmo tempo.
A condição de tangência depende da distância entre os centros. Temos os centros (21,4) e (r,r), então calculamos essa distância em função de r.
Por que esta fórmula: A distância entre dois pontos (x₁,y₁) e (x₂,y₂) é √[(x₂–x₁)² + (y₂–y₁)²]. Aqui, (x₁,y₁) = (21,4) e (x₂,y₂) = (r,r).
De onde vem cada valor: = passo 1: coordenada x do centro da circunferência dada · = passo 1: coordenada y do centro da circunferência dada · = passo 2: coordenadas do centro de C
Trocar a ordem dos termos na subtração, mas como está ao quadrado, não faz diferença.
A tangência externa acontece quando as circunferências se tocam por fora, e a distância entre os centros é a soma dos raios. Como o raio de C é r e o da outra é 4, temos d = r + 4.
Por que esta fórmula: É a definição de tangência externa: d = r₁ + r₂. Substituímos r₁ = r e r₂ = 4.
De onde vem cada valor: = passo 2: raio de C · = passo 1: raio da circunferência dada
equação da tangência externa
Usar r – 4 em vez de r + 4, confundindo com tangência interna.
Precisamos encontrar os valores de r que satisfazem a condição. Elevamos ao quadrado para eliminar a raiz e resolvemos a equação do 2º grau resultante.
Por que esta fórmula: Elevar ao quadrado é válido porque ambos os lados são não negativos. Depois, expandimos e simplificamos até chegar a uma equação quadrática, que resolvemos com Bhaskara.
De onde vem cada valor: = passo 4: da expansão de (21 – r)² + (4 – r)² = (r + 4)² · = passo 4: coeficiente linear após simplificação · = passo 4: termo constante após simplificação
r = 49 ou r = 9
Errar a expansão dos quadrados, especialmente o termo (4 – r)².
Além da tangência externa, as circunferências podem se tocar por dentro, quando uma está dentro da outra. Nesse caso, a distância entre os centros é a diferença dos raios.
Por que esta fórmula: A tangência interna exige d = |r₁ – r₂|. Aqui, r₁ = r e r₂ = 4, então d = |r – 4|.
De onde vem cada valor: = passo 2: raio de C · = passo 1: raio da circunferência dada
equação da tangência interna
Esquecer o módulo e escrever r – 4, o que pode dar soluções negativas.
Precisamos achar os r que satisfazem essa condição. Elevamos ao quadrado, mas como há módulo, devemos considerar os dois casos: r ≥ 4 e r < 4.
Por que esta fórmula: Elevar ao quadrado elimina a raiz, mas o módulo exige analisar os sinais. No entanto, ao elevar, o módulo desaparece porque (|r – 4|)² = (r – 4)².
De onde vem cada valor: = passo 1: coordenada x do centro · = passo 1: coordenada y do centro · = passo 2: raio de C
Esquecer de verificar se a solução satisfaz a condição do módulo; aqui r = 21 > 4, então é válida.
Já temos as soluções das duas condições. Precisamos juntar todas e verificar se alguma se repete, para contar quantos valores diferentes de r existem.
Por que esta fórmula: Não há fórmula; é uma contagem. As soluções da tangência externa são 49 e 9, e da interna é 21. Nenhuma se repete.
Contar as soluções da equação externa como duas e esquecer a interna, ou vice-versa.
Resposta: Existem 3 valores possíveis para o raio: 9, 21 e 49 — alternativa D
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