Questão de Matemática — Geometria Espacial — FGV 2025

Cilindro equilátero e cone inscrito: volume da região anular

Gabarito: letra C — o volume do líquido é 1056π cm³. A região ocupada pelo líquido é a diferença entre o volume do cilindro e o volume do cone, ambos com 20 cm de altura, mas o líquido atinge apenas 12 cm de altura, então precisamos calcular o volume do cilindro até 12 cm e subtrair o volume do cone até 12 cm. Como o cilindro é equilátero, sua altura é igual ao diâmetro da base, o que nos dá o raio.

Vamos entender o problema. Temos um cilindro equilátero, ou seja, a altura é igual ao diâmetro da base. Como a altura é 20 cm, o diâmetro é 20 cm e o raio é 10 cm. Dentro dele, há um cone reto invertido, com a base coincidindo com a base superior do cilindro e o vértice no centro da base inferior. Isso significa que o cone tem a mesma altura (20 cm) e o mesmo raio da base (10 cm) que o cilindro.

O líquido ocupa a região entre o cilindro e o cone até uma altura de 12 cm. Para calcular esse volume, precisamos encontrar o volume do cilindro até 12 cm e subtrair o volume do cone até 12 cm. O volume do cilindro até uma altura h é dado por $V_{cil} = \pi r^2 h$. O volume do cone até uma altura h é dado por $V_{cone} = \frac{1}{3} \pi r'^2 h$, onde r' é o raio do cone na altura h. Como o cone é reto e invertido, o raio varia linearmente com a altura: na base (altura 20 cm) o raio é 10 cm, e no vértice (altura 0 cm) o raio é 0 cm. Portanto, na altura de 12 cm (medida a partir do vértice), o raio do cone é proporcional: $r' = \frac{10}{20} \cdot 12 = 6$ cm.

Agora podemos calcular os volumes. O volume do cilindro até 12 cm é $V_{cil} = \pi \cdot 10^2 \cdot 12 = 1200\pi$ cm³. O volume do cone até 12 cm é $V_{cone} = \frac{1}{3} \pi \cdot 6^2 \cdot 12 = \frac{1}{3} \pi \cdot 36 \cdot 12 = 144\pi$ cm³. A diferença é $1200\pi - 144\pi = 1056\pi$ cm³, que corresponde à alternativa C.

A pegadinha aqui é que muitos alunos calculam o volume do cilindro inteiro (até 20 cm) e subtraem o volume do cone inteiro, obtendo $2000\pi - \frac{2000\pi}{3} = \frac{4000\pi}{3} \approx 1333\pi$, que não está nas alternativas. Outros podem calcular o volume do cone até 12 cm usando o raio da base (10 cm) em vez do raio proporcional (6 cm), obtendo $\frac{1}{3} \pi \cdot 10^2 \cdot 12 = 400\pi$, e então $1200\pi - 400\pi = 800\pi$, que também não está nas alternativas. A chave é lembrar que o raio do cone diminui conforme a altura, e precisamos usar a semelhança de triângulos para encontrar o raio na altura de 12 cm.

Alternativa A — ❌ Incorreta

O valor 766π cm³ não corresponde a nenhum cálculo direto. Se o aluno subtraísse o volume do cone inteiro (até 20 cm) do volume do cilindro até 12 cm, obteria $1200\pi - \frac{2000\pi}{3} = \frac{1600\pi}{3} \approx 533\pi$, que não é 766π. Esse valor parece ser um distrator aleatório, sem relação com os cálculos corretos.

Alternativa B — ❌ Incorreta

O valor 768π cm³ é próximo de 800π, que seria o resultado se o aluno usasse o raio da base do cone (10 cm) em vez do raio proporcional (6 cm) na altura de 12 cm. Mas o cálculo correto com o raio proporcional dá 1056π. A diferença de 32π pode vir de um erro de arredondamento ou de uma confusão na proporção.

Alternativa C — ✅ Correta ⟵ GABARITO

O cálculo correto é: volume do cilindro até 12 cm = $\pi \cdot 10^2 \cdot 12 = 1200\pi$ cm³. Volume do cone até 12 cm = $\frac{1}{3} \pi \cdot 6^2 \cdot 12 = 144\pi$ cm³. Diferença = $1200\pi - 144\pi = 1056\pi$ cm³. O raio do cone na altura de 12 cm é 6 cm, obtido por semelhança de triângulos: $\frac{r'}{12} = \frac{10}{20}$, logo $r' = 6$ cm.

Alternativa D — ❌ Incorreta

O valor 1065π cm³ é próximo do correto (1056π), mas a diferença de 9π sugere um erro de cálculo na multiplicação ou na subtração. Por exemplo, se o aluno calculasse o volume do cone como $\frac{1}{3} \pi \cdot 6^2 \cdot 12 = 144\pi$ e depois subtraísse de $1200\pi$ obtendo $1056\pi$, mas cometesse um erro de soma, poderia chegar a 1065π. É um distrator que testa a atenção aos detalhes.

Alternativa E — ❌ Incorreta

O valor 1440π cm³ é o volume do cilindro inteiro (até 20 cm) menos o volume do cone inteiro? Não, o volume do cilindro inteiro é $\pi \cdot 10^2 \cdot 20 = 2000\pi$, e o volume do cone inteiro é $\frac{1}{3} \pi \cdot 10^2 \cdot 20 = \frac{2000\pi}{3} \approx 666\pi$, a diferença seria $\approx 1333\pi$. O valor 1440π pode vir de um erro ao calcular o volume do cilindro até 12 cm como $\pi \cdot 12^2 \cdot 10 = 1440\pi$, confundindo o raio com a altura.

Gabarito: letra C