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Questão de Matemática — Funções reais de variável real (cálculo diferencial e integral) — FGV 2025

MatemáticaFunções reais de variável real (cálculo diferencial e integral)
Código
fg168041
Banca
FGV
Órgão
CPRM
Ano
2025
Cargo
Ana Geo ( )
Sabendo-se que a função f(x) é definida como f (x) = {\large x^2 -4 \over x - 2} .   Qual é o valor de \lim_{x \to 2} f(x)?
  1. A0
  2. B2
  3. C4
  4. D3
  5. E-2
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GabaritoC — 4

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Resolução

Gabarito: letra C — a conta chega a 4 — alternativa C.

A ideia por trás

O limite de uma função responde à pergunta: para qual valor a função se aproxima quando a variável x se aproxima de um certo ponto? Isso é diferente de perguntar qual é o valor da função naquele ponto. A função pode não estar definida no ponto (como aqui, pois em x = 2 o denominador vira zero), mas o limite pode existir, porque ele observa o comportamento nas vizinhanças do ponto, não no ponto em si.

Quando substituímos x = 2 diretamente, obtemos 0/0, uma indeterminação. Para resolvê-la, usamos a técnica de fatoração e cancelamento: o numerador x² - 4 é uma diferença de quadrados, que se fatora como (x - 2)(x + 2). Assim, cancelamos o fator comum (x - 2) e ficamos com x + 2, que é contínua e pode ser avaliada em x = 2. Essa técnica funciona sempre que temos uma indeterminação 0/0 com polinômios.

Esta questão cobra exatamente essa técnica: reconhecer a indeterminação 0/0, fatorar o numerador, cancelar o fator comum e então substituir o valor de x. O limite existe e é 4, mesmo que a função não esteja definida em x = 2.

O que a questão dá

  • f(x) = (x² - 4)/(x - 2)

  • ponto de interesse: x = 2

O que queremos: o limite de f(x) quando x tende a 2

Passo 1 — Substituir x por 2 na função

O primeiro passo é sempre tentar substituir o valor diretamente. Se der um número, o limite é esse número. Aqui, ao substituir, obtemos 0/0, que é uma indeterminação — sinal de que precisamos de uma técnica algébrica.

Por que esta fórmula: Não é uma fórmula, é a definição de limite: avaliar a função no ponto. Como o resultado é 0/0, sabemos que há um fator comum a cancelar.

f(2)=22−42−2f(2) = \frac{2^{2} - 4}{2 - 2}

De onde vem cada valor: 222^{2} = enunciado: x = 2 · 44 = enunciado: termo constante do numerador · 2−22 - 2 = enunciado: denominador com x = 2

f(2)=4−40=00=indeterminac\ca~o0/0f(2) = \frac{4 - 4}{0} = \frac{0}{0} = \boxed{\text{indetermina}çã\text{o} 0/0}
NÃO CAIA NESSA!

Parar aqui e achar que o limite não existe — a indeterminação é um convite para fatorar, não uma resposta final.

Passo 2 — Fatorar o numerador como diferença de quadrados

Como temos 0/0, precisamos reescrever a função para eliminar o fator que causa o problema. O numerador x² - 4 é uma diferença de quadrados, que tem fatoração conhecida.

Por que esta fórmula: A diferença de quadrados a² - b² = (a - b)(a + b) é a identidade que se aplica aqui, com a = x e b = 2. Ela revela o fator (x - 2) que também está no denominador.

x2−4=(x−2)(x+2)x^{2} - 4 = (x - 2)(x + 2)

De onde vem cada valor: x2x^{2} = enunciado: termo do numerador · 44 = enunciado: termo constante do numerador

x2−4=(x−2)(x+2)=(x−2)(x+2)x^{2} - 4 = (x - 2)(x + 2) = \boxed{(\text{x} - 2)(\text{x} + 2)}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer a fatoração e tentar outras técnicas, como L'Hôpital, sem necessidade — aqui a fatoração é mais simples.

Passo 3 — Cancelar o fator comum (x - 2)

No limite, x se aproxima de 2 mas nunca é igual a 2, então podemos cancelar o fator (x - 2) do numerador com o do denominador. Isso simplifica a função para uma expressão contínua.

Por que esta fórmula: Cancelar é válido porque, para todo x ≠ 2, a fração original é igual à simplificada. O limite não se importa com o que acontece exatamente em x = 2.

lim⁡x→2(x−2)(x+2)x−2=lim⁡x→2(x+2)\lim_{x \to 2} \frac{(x-2)(x+2)}{x-2} = \lim_{x \to 2} (x+2)

De onde vem cada valor: (x−2)(x+2)(x-2)(x+2) = passo 2: fatoração do numerador · x−2x-2 = enunciado: denominador

lim⁡x→2(x+2)=x+2\lim_{x \to 2} (x+2) = \boxed{\text{x} + 2}
NÃO CAIA NESSA!

Cancelar sem perceber que x ≠ 2 no limite — mas é exatamente por isso que o cancelamento é permitido.

Passo 4 — Substituir x por 2 na expressão simplificada

Agora a expressão x + 2 é contínua, então podemos simplesmente avaliar em x = 2 para obter o limite.

Por que esta fórmula: Como x + 2 é uma função polinomial, seu limite em qualquer ponto é o valor da função nesse ponto.

lim⁡x→2(x+2)=2+2\lim_{x \to 2} (x+2) = 2 + 2

De onde vem cada valor: xx = enunciado: tende a 2 · 22 = enunciado: termo constante

2+2=4=42 + 2 = 4 = \boxed{4}
NÃO CAIA NESSA!

Confundir o limite com o valor da função original em x = 2, que não existe — o limite é 4, não 0.

Resposta: 4 — alternativa C

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