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Questão de Matemática — Funções reais de variável real (cálculo diferencial e integral) — FGV 2025

MatemáticaFunções reais de variável real (cálculo diferencial e integral)
Código
fg168042
Banca
FGV
Órgão
CPRM
Ano
2025
Cargo
Ana Geo ( )
A área de interesse para a construção de um empreendimento está limitada entre as funções contínuas F(x) = 0.5x² – x + 3 e G(x) = –0.25x² + 0.5x + 1.25.   O valor da área A, de interesse, entre os pontos em que x = 1 e x = 3 éImagem associada para resolução da questão
  1. A3
  2. B6
  3. C4
  4. D2
  5. E8
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GabaritoC — 4

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Resolução

Gabarito: letra C — a conta chega a 4 unidades de área — alternativa C.

A ideia por trás

A área entre duas curvas é a medida da região do plano limitada por elas, em unidades de área (como cm², m² etc.). Para calculá-la, usamos a integral definida, que soma infinitas fatias verticais de altura igual à diferença entre as funções, ao longo do intervalo.

Se uma função f(x) está sempre acima de g(x) em [a, b], a área entre elas é A = ∫[f(x) - g(x)]dx de a até b. A diferença f(x) - g(x) dá a altura de cada fatia; integrar soma essas alturas ao longo do eixo x. Se a ordem for invertida, o resultado fica negativo, mas a área é sempre positiva.

Esta questão pede exatamente isso: identificar qual das duas parábolas está por cima no intervalo dado e integrar a diferença. O passo crucial é decidir a ordem da subtração antes de integrar.

O que a questão dá

  • F(x) = 0,5x² - x + 3

  • G(x) = -0,25x² + 0,5x + 1,25

  • intervalo: x = 1 a x = 3

O que queremos: a área entre as curvas F e G no intervalo de x = 1 a x = 3

Passo 1 — Descobrir qual curva fica por cima

A fórmula da área entre curvas exige saber qual função subtrair de qual. Se subtrairmos ao contrário, o resultado sai negativo — e área não pode ser negativa. Testar um ponto dentro do intervalo resolve: o valor maior indica a curva de cima.

Por que esta fórmula: Não é uma fórmula, é uma verificação: calcular F(2) e G(2) e comparar. Como as funções são contínuas e não se cruzam no intervalo (o discriminante da diferença é negativo), o sinal da diferença não muda, então o teste em um ponto vale para todo o intervalo.

F(2) = 3 e G(2) = 1,25, logo F está acima

NÃO CAIA NESSA!

Escolher a ordem errada por não testar; se usar G - F, o resultado fica -4 e pode confundir.

Passo 2 — Montar a expressão da diferença

A integral da área usa a diferença entre as funções. Como F está por cima, precisamos de F(x) - G(x). Isso exige distribuir o sinal de menos e combinar os termos semelhantes.

Por que esta fórmula: A diferença F(x) - G(x) é a altura de cada fatia vertical. Subtrair G de F significa somar o oposto de G, então trocamos os sinais de cada termo de G.

F(x)−G(x)=(0,5x2−x+3)−(−0,25x2+0,5x+1,25)F(x) - G(x) = (0{,}5x^{2} - x + 3) - (-0{,}25x^{2} + 0{,}5x + 1{,}25)

De onde vem cada valor: F(x)F(x) = enunciado: 0,5x² - x + 3 · G(x)G(x) = enunciado: -0,25x² + 0,5x + 1,25

F(x)−G(x)=0,5x2−x+3+0,25x2−0,5x−1,25=0,75 x2−1,5x+1,75F(x) - G(x) = 0{,}5x^{2} - x + 3 + 0{,}25x^{2} - 0{,}5x - 1{,}25 = \boxed{0{,}75\ \text{x}^{2} - 1,5\text{x} + 1,75}
NÃO CAIA NESSA!

Errar o sinal ao subtrair G: esquecer de trocar o sinal de cada termo de G.

Passo 3 — Integrar a diferença termo a termo

A área é a integral definida da diferença. Integrar termo a termo é aplicar a regra da potência: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n+1). Isso transforma a expressão em uma primitiva, que depois será avaliada nos limites.

Por que esta fórmula: A integral definida de uma soma é a soma das integrais, então integramos cada termo separadamente. A regra da potência é a ferramenta básica para polinômios.

int (0,75x^2 - 1,5x + 1,75) dx = 0,75 · fracx^33 - 1,5 · fracx^22 + 1,75x

De onde vem cada valor: 0,75x20{,}75x^{2} = passo 2: coeficiente de x² · −1,5x-1{,}5x = passo 2: coeficiente de x · 1,751{,}75 = passo 2: termo constante

∫(0,75x2−1,5x+1,75) dx=0,25x3−0,75x2+1,75x\int (0{,}75x^{2} - 1{,}5x + 1{,}75)\,dx = 0{,}25x^{3} - 0{,}75x^{2} + 1{,}75x

0,25x³ - 0,75x² + 1,75x

NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de dividir o coeficiente pelo novo expoente, por exemplo, escrever 0,75x³ em vez de 0,25x³.

Passo 4 — Avaliar a primitiva nos limites

O Teorema Fundamental do Cálculo diz que a integral definida é a primitiva avaliada no limite superior menos a avaliada no inferior. Isso dá o número final da área.

Por que esta fórmula: Avaliar F(x) = 0,25x³ - 0,75x² + 1,75x em x = 3 e x = 1 e subtrair. É a aplicação direta do teorema.

A=[0,25x3−0,75x2+1,75x]13A = [0{,}25x^{3} - 0{,}75x^{2} + 1{,}75x]_{1}^{3}

De onde vem cada valor: 0,25x3−0,75x2+1,75x0{,}25x^{3} - 0{,}75x^{2} + 1{,}75x = passo 3: primitiva · 33 = enunciado: limite superior · 11 = enunciado: limite inferior · 2727 = constante: 3³ · 99 = constante: 3²

A=(0,25⋅27−0,75⋅9+1,75⋅3)−(0,25⋅1−0,75⋅1+1,75⋅1)=4A = (0{,}25 \cdot 27 - 0{,}75 \cdot 9 + 1{,}75 \cdot 3) - (0{,}25 \cdot 1 - 0{,}75 \cdot 1 + 1{,}75 \cdot 1) = \boxed{4}
NÃO CAIA NESSA!

Trocar a ordem da subtração: fazer F(1) - F(3) daria -4, e esquecer que área é positiva.

Resposta: 4 unidades de área — alternativa C

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