Questão de Matemática — Funções reais de variável real (cálculo diferencial e integral) — FGV 2025

Taxa de variação da concentração de glicose

Gabarito: letra A. A concentração de glicose, dada por $f(t) = 1,8 + \frac{3,6}{\sqrt{t}}$, é uma função decrescente para $t > 0$, e a taxa de variação no instante $t = 4$ horas é obtida pela derivada $f'(t) = -\frac{1,8}{t^{3/2}}$, que resulta em $f'(4) = -0,225$ mg/cm³/hora. O sinal negativo confirma a diminuição, e o módulo $0,225$ é exatamente o valor da alternativa A.

A questão cobra o conceito de taxa de variação instantânea, que em Cálculo Diferencial é a derivada da função no ponto. Quando o enunciado pergunta "a concentração ... 4 horas após a injeção" e as alternativas falam em "aumenta/diminui a uma taxa de X mg/cm³/hora", ele está pedindo a derivada de $f(t)$ avaliada em $t = 4$. A derivada mede a velocidade com que a grandeza (concentração) varia por unidade de tempo — no caso, por hora.

Vamos calcular. A função é $f(t) = 1,8 + 3,6 \cdot t^{-1/2}$. Derivando termo a termo:

• A derivada da constante $1,8$ é $0$;

• A derivada de $3,6 \cdot t^{-1/2}$ é $3,6 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) t^{-3/2} = -1,8 \, t^{-3/2}$.

Portanto, $f'(t) = -\frac{1,8}{t^{3/2}}$. Avaliando em $t = 4$:

O resultado é negativo, o que indica que a concentração está diminuindo a uma taxa de $0,225$ mg/cm³ por hora. A alternativa A captura exatamente isso: "diminui a uma taxa de 0,225 mg/cm³/hora".

A pegadinha clássica da banca aqui é dupla: (1) esquecer o sinal negativo da derivada e marcar a alternativa D (que tem o mesmo número, mas diz "aumenta"); (2) errar a conta da potência fracionária, obtendo $0,9$ (alternativa E) ao calcular $4^{3/2}$ como $4 \cdot 1,5 = 6$ em vez de $8$, ou $0,5$ (alternativa B) por algum deslize na divisão. A alternativa C, "se mantém constante e igual a zero", confunde a taxa de variação com o valor da função — a concentração em $t=4$ é $f(4) = 1,8 + 1,8 = 3,6$ mg/cm³, não zero, e a taxa não é zero porque a função não é constante.

Guarde o critério decisivo: taxa de variação = derivada. Se a alternativa fala em "aumenta/diminui a uma taxa de ...", o caminho é derivar e avaliar no instante pedido. O sinal da derivada diz se cresce ou decresce; o módulo diz a velocidade.

Alternativa A — ✅ Correta ⟵ GABARITO

A derivada $f'(t) = -\frac{1,8}{t^{3/2}}$ avaliada em $t=4$ resulta em $-0,225$ mg/cm³/hora. O sinal negativo indica diminuição, e o valor absoluto $0,225$ é a taxa pedida. A alternativa espelha perfeitamente o resultado do cálculo.

Alternativa B — ❌ Incorreta

Afirma que a concentração aumenta a uma taxa de $0,500$ mg/cm³/hora. Dois erros: o sinal (a derivada é negativa, logo há diminuição, não aumento) e o valor (o correto é $0,225$, não $0,500$). O número $0,500$ não corresponde a nenhuma etapa do cálculo — é um distrator puro.

Alternativa C — ❌ Incorreta

Diz que a concentração "se mantém constante e igual a zero". Confunde taxa de variação com valor da função. A função não é constante (depende de $t$), e em $t=4$ a concentração vale $f(4) = 1,8 + \frac{3,6}{2} = 3,6$ mg/cm³, não zero. A taxa de variação também não é zero, pois a derivada é $-0,225$.

Alternativa D — ❌ Incorreta

Afirma que a concentração aumenta a uma taxa de $0,225$ mg/cm³/hora. O valor $0,225$ está correto, mas o sinal está invertido: a derivada é negativa, indicando diminuição. É a pegadinha clássica de trocar o sinal — o candidato que calcula certo, mas esquece o significado do sinal negativo, cai aqui.

Alternativa E — ❌ Incorreta

Diz que a concentração diminui a uma taxa de $0,900$ mg/cm³/hora. O sinal está certo (diminuição), mas o valor está errado. $0,900$ seria o resultado se $4^{3/2}$ fosse calculado como $4 \times 1,5 = 6$, dando $\frac{1,8}{6} = 0,3$ — ou outro deslize. O correto é $4^{3/2} = (\sqrt{4})^3 = 2^3 = 8$, resultando em $\frac{1,8}{8} = 0,225$.

Gabarito: letra A