Questão de Matemática — Geometria Analítica — FGV 2025

Geometria Analítica: Paralelogramo no Plano Cartesiano

Gabarito: letra D — D(0,3). Em um paralelogramo, as diagonais se cruzam em seus pontos médios, então o ponto médio de AC é igual ao ponto médio de BD. Calculando o ponto médio de AC: $M = \left(\frac{-2+3}{2}, \frac{1+3}{2}\right) = \left(\frac{1}{2}, 2\right)$. Igualando ao ponto médio de BD, com D(x,y): $\left(\frac{1+x}{2}, \frac{1+y}{2}\right) = \left(\frac{1}{2}, 2\right)$, o que resulta em $x = 0$ e $y = 3$.

A questão envolve a propriedade fundamental do paralelogramo: as diagonais se intersectam em seus pontos médios. Isso significa que o ponto médio do segmento AC é o mesmo ponto médio do segmento BD. Essa propriedade é a chave para resolver o problema, pois conhecendo três vértices, podemos determinar o quarto.

Vamos entender o conceito de ponto médio. Dados dois pontos $A(x_1, y_1)$ e $B(x_2, y_2)$, o ponto médio M do segmento AB é dado por $M\left(\frac{x_1+x_2}{2}, \frac{y_1+y_2}{2}\right)$. Essa é uma média aritmética das coordenadas dos extremos.

Aplicando ao problema: temos A(-2,1), B(1,1) e C(3,3). Queremos D(x,y).

1. Ponto médio de AC: $M_{AC} = \left(\frac{-2+3}{2}, \frac{1+3}{2}\right) = \left(\frac{1}{2}, 2\right)$.

2. Ponto médio de BD: $M_{BD} = \left(\frac{1+x}{2}, \frac{1+y}{2}\right)$.

3. Igualando: $\frac{1+x}{2} = \frac{1}{2} \Rightarrow 1+x = 1 \Rightarrow x = 0$. E $\frac{1+y}{2} = 2 \Rightarrow 1+y = 4 \Rightarrow y = 3$.

Portanto, D(0,3).

Uma forma alternativa de pensar é que, em um paralelogramo, o vetor $\overrightarrow{AB}$ é igual ao vetor $\overrightarrow{DC}$. Assim, $\overrightarrow{AB} = B - A = (1-(-2), 1-1) = (3, 0)$. Então, $D = C - \overrightarrow{AB} = (3-3, 3-0) = (0, 3)$. Ambas as abordagens levam ao mesmo resultado.

A pegadinha da banca está em confundir a ordem dos vértices ou aplicar a propriedade errada, como usar a soma dos vetores de forma incorreta. É essencial lembrar que as diagonais de um paralelogramo se cruzam no ponto médio, e não que os lados opostos são iguais em comprimento (embora isso também seja verdade, a propriedade do ponto médio é mais direta para este tipo de problema).

Alternativa A — ❌ Incorreta

D(3,0) seria o ponto que, junto com B(1,1), formaria uma diagonal cujo ponto médio é (2, 0.5), que não coincide com o ponto médio de AC (0.5, 2). Além disso, o vetor $\overrightarrow{AD} = (5, -1)$ não é igual ao vetor $\overrightarrow{BC} = (2, 2)$, o que viola a propriedade dos lados opostos de um paralelogramo.

Alternativa B — ❌ Incorreta

D(2,2) resultaria em um ponto médio de BD igual a (1.5, 1.5), que não é o ponto médio de AC (0.5, 2). O vetor $\overrightarrow{AD} = (4, 1)$ também não é igual ao vetor $\overrightarrow{BC} = (2, 2)$.

Alternativa C — ❌ Incorreta

D(1,2) daria um ponto médio de BD igual a (1, 1.5), que não coincide com o ponto médio de AC (0.5, 2). O vetor $\overrightarrow{AD} = (3, 1)$ não é igual ao vetor $\overrightarrow{BC} = (2, 2)$.

Alternativa D — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Como calculado, D(0,3) é o único ponto que satisfaz a condição de que o ponto médio de BD seja igual ao ponto médio de AC. Verificando: $M_{BD} = \left(\frac{1+0}{2}, \frac{1+3}{2}\right) = (0.5, 2)$, que é exatamente $M_{AC}$. Além disso, o vetor $\overrightarrow{AD} = (2, 2)$ é igual ao vetor $\overrightarrow{BC} = (2, 2)$, confirmando que os lados opostos são paralelos e iguais.

Alternativa E — ❌ Incorreta

D(-1,3) resultaria em um ponto médio de BD igual a (0, 2), que não é o ponto médio de AC (0.5, 2). O vetor $\overrightarrow{AD} = (1, 2)$ não é igual ao vetor $\overrightarrow{BC} = (2, 2)$.

Gabarito: letra D