Questão de Matemática — Sistemas Lineares — FGV 2025

Resolução

Gabarito: letra D — a conta chega a 1 — alternativa D.

A ideia por trás

Um sistema linear é um conjunto de equações que precisam ser verdadeiras ao mesmo tempo. Quando há menos equações do que incógnitas, normalmente existem infinitas soluções — ou seja, muitos ternos (x, y, z) satisfazem as duas equações. A pergunta não quer os valores individuais, mas sim o resultado de uma combinação deles.

Uma combinação linear das equações é obtida multiplicando cada equação por um número e somando os resultados. Se a expressão pedida tiver exatamente os mesmos coeficientes que essa combinação, então o valor dela é a mesma combinação dos termos independentes. Isso funciona porque, para qualquer solução do sistema, a combinação das equações continua verdadeira.

Aqui, a expressão 3x - 7y + 5z tem coeficientes que podem ser obtidos combinando as duas equações. Em vez de resolver o sistema, vamos descobrir quais números multiplicam cada equação para chegar nessa expressão.

O que a questão dá

• equação 1: 2x - 3y + z = 4

• equação 2: -x - y + 3z = -7

• expressão pedida: 3x - 7y + 5z

O que queremos: o valor da expressão 3x - 7y + 5z

Passo 1 — Montar a combinação genérica

Queremos escrever a expressão pedida como uma soma de múltiplos das equações. Isso é útil porque, se conseguirmos, o valor da expressão sai direto dos termos independentes, sem precisar achar x, y e z.

Por que esta fórmula: Multiplicar a primeira equação por α e a segunda por β e somar dá uma nova equação cujos coeficientes são combinações dos originais. Essa é a definição de combinação linear.

De onde vem cada valor: $\alpha$ = definição: multiplicador da equação 1 · $\beta$ = definição: multiplicador da equação 2 · $2x - 3y + z$ = enunciado: equação 1 · $-x - y + 3z$ = enunciado: equação 2 · $4$ = enunciado: termo independente da equação 1 · $-7$ = enunciado: termo independente da equação 2

Passo 2 — Igualar os coeficientes aos da expressão

Para que a combinação seja exatamente a expressão pedida, os coeficientes de x, y e z precisam ser 3, -7 e 5. Isso gera um sistema para α e β.

Por que esta fórmula: Cada coeficiente da combinação é uma expressão em α e β; igualando cada um ao coeficiente correspondente da expressão pedida, montamos as equações.

De onde vem cada valor: $2\alpha - \beta$ = passo 1: coeficiente de x na combinação · $3$ = enunciado: coeficiente de x na expressão pedida · $-3\alpha - \beta$ = passo 1: coeficiente de y na combinação · $-7$ = enunciado: coeficiente de y na expressão pedida · $\alpha + 3\beta$ = passo 1: coeficiente de z na combinação · $5$ = enunciado: coeficiente de z na expressão pedida

Passo 3 — Resolver para α e β

Precisamos dos valores numéricos de α e β para calcular o valor da expressão. Como temos três equações e duas incógnitas, usamos as duas primeiras para achar α e β e a terceira para conferir.

Por que esta fórmula: Subtrair a segunda equação da primeira elimina β e resolve α; depois substituímos para achar β.

De onde vem cada valor: $2\alpha - \beta$ = passo 2: primeira equação · $-3\alpha - \beta$ = passo 2: segunda equação

α = 2, β = 1

Passo 4 — Calcular o valor da expressão

Com α e β conhecidos, a combinação linear está pronta. Como a combinação é igual à expressão pedida, o valor dela é a mesma combinação dos termos independentes.

Por que esta fórmula: Se 3x - 7y + 5z = 2(2x - 3y + z) + 1(-x - y + 3z), então substituímos as equações originais pelos seus valores 4 e -7.

De onde vem cada valor: $2$ = passo 3: α = 2 · $4$ = enunciado: termo independente da equação 1 · $1$ = passo 3: β = 1 · $-7$ = enunciado: termo independente da equação 2

Resposta: 1 — alternativa D