Matemática · FGV · 2025 | Questão sqc-fg168050

Função logarítmica e função inversa

Gabarito: letra B. Partindo de $y = \frac{2 \cdot \log_2(x)}{3}$ , isolamos o logaritmo e aplicamos a definição de logaritmo (que é sinônimo de expoente) para obter $x = 8^{y/2} = \sqrt{8^y}$ . A alternativa B reproduz exatamente essa expressão.

O ponto central desta questão é a definição de logaritmo e a manipulação algébrica para isolar a variável $x$ . Lembre-se: logaritmo é sinônimo de expoente. A expressão $\log_b(a) = c$ significa que $b^c = a$ . Em outras palavras, o logaritmo responde à pergunta: "a base $b$ elevada a qual expoente resulta em $a$ ?". Essa equivalência é a ferramenta que usamos para "desfazer" o logaritmo e deixar $x$ isolado.

Vamos ao desenvolvimento passo a passo. A função dada é:

y = \frac{2 \cdot \log_2(x)}{3}

Primeiro, multiplicamos ambos os lados por 3 para eliminar o denominador:

3y = 2 \cdot \log_2(x)

Em seguida, dividimos ambos os lados por 2 para isolar o logaritmo:

\frac{3y}{2} = \log_2(x)

Agora aplicamos a definição de logaritmo: se $\log_2(x) = \frac{3y}{2}$ , então a base 2 elevada ao expoente $\frac{3y}{2}$ é igual a $x$ :

x = 2^{3y/2}

Essa é a forma mais direta. Mas a alternativa B apresenta $x = \sqrt{8^y}$ . Vamos verificar se são equivalentes. Sabemos que $8 = 2^3$ . Então:

8^y = (2^3)^y = 2^{3y}

E a raiz quadrada de $8^y$ é:

\sqrt{8^y} = (8^y)^{1/2} = (2^{3y})^{1/2} = 2^{3y/2}

Exatamente o que encontramos. Portanto, a alternativa B está correta.

A pegadinha desta questão está na manipulação dos expoentes. O candidato que isola $x$ corretamente chega a $x = 2^{3y/2}$ , mas pode não reconhecer que isso é igual a $\sqrt{8^y}$ . Outros erros comuns: esquecer de dividir por 2 ao isolar o logaritmo (o que levaria a $x = 2^{3y}$ ), ou confundir a base do logaritmo com a base da exponencial (achando que $x = 10^{3y}$ ).

Guarde o passo a passo: isolar o logaritmo → aplicar a definição → simplificar a potência. É exatamente esse fluxo que separa a alternativa correta das demais.

Expressão	Valor	Equivalência com (x = 2^{3y/2})
$(x = \sqrt{8y})$	$(= \sqrt{8y})$	Não equivalente (multiplicação, não potência)
$(x = \sqrt{8^y})$	(= (8^y)^{1/2} = (2^{3y})^{1/2} = 2^{3y/2})	✅ Equivalente
(x = 2^{3y})	(= 2^{3y})	Não equivalente (expoente sem dividir por 2)
(x = 10^{3y})	(= 10^{3y})	Não equivalente (base errada)
(x = 2^{y/3})	(= 2^{y/3})	Não equivalente (fração invertida)

1Multiplicar por 3
2Dividir por 2
3Aplicar definição de log
4Simplificar a potência

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Alternativa A — ❌ Incorreta

$x = \sqrt{8y}$ não é equivalente a $x = 2^{3y/2}$ . Aqui, a banca troca a potência pela multiplicação: em vez de $8^y$ , escreve $8y$ . Isso é um erro clássico de confundir a operação de exponenciação com a multiplicação. A forma correta envolve $8$ elevado a $y$ , não $8$ vezes $y$ .

Alternativa B — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Como demonstrado, $x = \sqrt{8^y} = (8^y)^{1/2} = (2^{3y})^{1/2} = 2^{3y/2}$ , que é exatamente o resultado obtido ao isolar $x$ na função dada. A alternativa está correta.

Alternativa C — ❌ Incorreta

$x = 2^{3y}$ seria o resultado se, ao isolar o logaritmo, tivéssemos esquecido de dividir por 2. Veja: se $\log_2(x) = 3y$ (em vez de $\frac{3y}{2}$ ), então $x = 2^{3y}$ . O erro está em não dividir o $3y$ por 2, ou seja, em não aplicar corretamente a operação inversa da multiplicação por 2.

Alternativa D — ❌ Incorreta

$x = 10^{3y}$ troca a base do logaritmo. O logaritmo é na base 2, então a exponencial correspondente deve ter base 2. A base 10 apareceria se o logaritmo fosse decimal ( $\log_{10}$ ), o que não é o caso. Além disso, o expoente também está errado (faltou dividir por 2).

Alternativa E — ❌ Incorreta

$x = 2^{y/3}$ inverte a fração. O expoente correto é $\frac{3y}{2}$ , não $\frac{y}{3}$ . Esse erro pode ocorrer se o candidato, ao isolar o logaritmo, dividir por 3 em vez de multiplicar por 3, ou se confundir a ordem das operações.

Gabarito: letra B