Questão de Raciocínio Lógico — Princípio da Casa dos Pombos — FGV 2025

Princípio da Casa dos Pombos: garantindo repetição de sintomas

Gabarito: letra C. Para garantir que pelo menos 4 pacientes apresentem o mesmo sintoma entre 6 sintomas possíveis, o número mínimo de pacientes é $6 \times 3 + 1 = 19$. Portanto, se $N = 19$, a afirmação é necessariamente verdadeira — é suficiente. A alternativa C está correta.

O Princípio da Casa dos Pombos (também chamado de Princípio das Gavetas de Dirichlet) é um dos conceitos mais cobrados em Raciocínio Lógico. A ideia central é simples: se você tem mais pombos do que casas, e todos os pombos precisam ser alojados, então pelo menos uma casa terá mais de um pombo. A versão generalizada, que é a que interessa para esta questão, afirma: se $n$ objetos são distribuídos em $k$ recipientes, e $n > k \cdot m$, então pelo menos um recipiente conterá $m+1$ objetos.

Na prática, para descobrir o número mínimo de objetos que garante uma repetição de $m+1$ em um mesmo recipiente, usamos a fórmula: $n = k \cdot m + 1$, onde $k$ é o número de recipientes (casas) e $m$ é a quantidade máxima que queremos permitir em cada casa sem atingir a repetição desejada. No nosso caso, queremos garantir que pelo menos 4 pacientes tenham o mesmo sintoma. Isso significa que queremos evitar a situação em que cada sintoma tem no máximo 3 pacientes. Se distribuirmos 3 pacientes para cada um dos 6 sintomas, teremos $6 \times 3 = 18$ pacientes, e ainda assim nenhum sintoma teria 4 pacientes. O próximo paciente (o 19º) forçará que algum sintoma atinja 4 pacientes. Portanto, o número mínimo de pacientes para garantir a afirmação é 19.

Vamos aplicar isso com um exemplo concreto. Imagine que temos 18 pacientes e queremos evitar que 4 tenham o mesmo sintoma. Podemos distribuir exatamente 3 pacientes para cada um dos 6 sintomas: 3 com dor de cabeça, 3 com febre, 3 com tosse, 3 com dor abdominal, 3 com tontura e 3 com alergia. Nenhum sintoma tem 4 pacientes. Agora, se adicionarmos um 19º paciente, ele terá que ter um dos 6 sintomas, e qualquer que seja o sintoma escolhido, aquele grupo passará a ter 4 pacientes. Logo, com 19 pacientes, é impossível não ter pelo menos 4 com o mesmo sintoma.

A pegadinha desta questão está na distinção entre condição necessária e condição suficiente. Uma condição suficiente garante a verdade da afirmação, mas não é a única forma de ela ser verdadeira. Uma condição necessária é aquela sem a qual a afirmação não pode ser verdadeira. No caso, $N = 19$ é suficiente, mas não é necessário: se $N = 20$, $N = 25$, ou qualquer valor maior que 19, a afirmação também é verdadeira. Por outro lado, $N > 24$ não é necessário, pois $N = 19$ já garante. E $N = 9$ não é suficiente, pois com 9 pacientes podemos ter, por exemplo, 2 pacientes com cada um dos 4 primeiros sintomas e 1 com o quinto, sem atingir 4 em nenhum. A alternativa E ($N = 4$) também não é suficiente, pois podemos ter 4 pacientes com sintomas todos distintos.

Guarde a fórmula: para garantir $m+1$ repetições em $k$ categorias, o mínimo é $k \cdot m + 1$. É exatamente esse cálculo que separa as alternativas corretas das incorretas.

Alternativa A — ❌ Incorreta

Afirma que é necessário que $N$ seja maior que 24. Isso é falso, pois $N = 19$ já é suficiente para garantir a afirmação. A condição necessária seria $N \geq 19$ (ou seja, $N$ precisa ser pelo menos 19), mas não precisa ser maior que 24. A banca tenta confundir o candidato com um número maior do que o mínimo, mas a necessidade é apenas $N \geq 19$.

Alternativa B — ❌ Incorreta

Afirma que é necessário que $N$ seja igual a 24. Isso é falso, pois $N = 19$ já garante a afirmação, e $N = 24$ é apenas um dos muitos valores que funcionam. A condição necessária é $N \geq 19$, não um valor exato. A banca tenta fixar um número específico, mas o princípio trabalha com um limite mínimo.

Alternativa C — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Afirma que é suficiente que $N$ seja igual a 19. Correto! Pelo princípio da casa dos pombos, com 6 sintomas e querendo garantir 4 repetições, o mínimo é $6 \times 3 + 1 = 19$. Se $N = 19$, a afirmação é necessariamente verdadeira, portanto é suficiente. Esta é a alternativa correta.

Alternativa D — ❌ Incorreta

Afirma que é suficiente que $N$ seja igual a 9. Isso é falso, pois com 9 pacientes podemos distribuir, por exemplo, 2 pacientes para cada um dos 4 primeiros sintomas e 1 para o quinto, totalizando 9, sem que nenhum sintoma atinja 4 pacientes. O número mínimo para garantir a afirmação é 19, então 9 não é suficiente.

Alternativa E — ❌ Incorreta

Afirma que é suficiente que $N$ seja igual a 4. Isso é falso, pois com 4 pacientes podemos ter todos com sintomas distintos (um para cada um dos 4 primeiros sintomas), e nenhum sintoma terá 4 pacientes. O número mínimo é 19, então 4 não é suficiente.

Gabarito: letra C