A figura abaixo mostra uma sequência de oito números dos quais dois são conhecidos. Nessa sequência, cada termo, do segundo ao sétimo, é a média aritmética dos seus vizinhos.
| 8 | 47 | ? |
O número que está na última casa da direita é
GabaritoE — 99.
Gabarito: letra E — a conta chega a 99 — alternativa E.
Uma sequência numérica é uma lista ordenada de números que segue uma regra de formação. Nesta questão, a regra é que cada termo do meio é a média aritmética dos dois vizinhos: por exemplo, o segundo termo é a média do primeiro com o terceiro, o terceiro é a média do segundo com o quarto, e assim por diante. Isso cria uma relação de dependência entre todos os termos, de modo que, conhecendo alguns, podemos descobrir os outros.
A condição 'cada termo é a média dos vizinhos' pode ser reescrita como a_{i+1} = 2a_i - a_{i-1}. Essa é uma fórmula de recorrência: ela permite calcular cada termo a partir dos dois anteriores. Quando aplicada repetidamente, ela gera uma sequência em que as diferenças entre termos consecutivos são constantes — ou seja, uma progressão aritmética (PA). Isso acontece porque a média dos vizinhos força um crescimento linear.
A questão fornece apenas o primeiro e o quarto termos. Para encontrar o oitavo, precisamos expressar todos os termos em função do segundo termo (desconhecido) e usar o valor conhecido do quarto para descobrir esse segundo termo. Depois, calculamos o oitavo.
primeiro termo = 8
quarto termo = 47
cada termo interno é a média aritmética dos vizinhos
O que queremos: o valor do oitavo termo (última casa da direita)
Como só conhecemos o primeiro (8) e o quarto (47), precisamos de uma incógnita para começar. Vamos chamar o segundo termo de x. Usando a recorrência a_{i+1} = 2a_i - a_{i-1}, conseguimos escrever todos os termos seguintes em função de x e de 8.
Por que esta fórmula: A recorrência vem diretamente da condição de média: se a_i = (a_{i-1} + a_{i+1})/2, então multiplicando por 2 e isolando a_{i+1} obtemos a_{i+1} = 2a_i - a_{i-1}.
De onde vem cada valor: = definição: termo atual da sequência · = definição: termo anterior · = definição: termo seguinte
Tentar adivinhar um padrão de soma ou multiplicação sem usar a recorrência.
Precisamos de uma equação que envolva o valor conhecido 47. O quarto termo é o primeiro que podemos expressar em função de x e depois igualar a 47.
Por que esta fórmula: Aplicando a recorrência sucessivamente: a_3 = 2a_2 - a_1 = 2x - 8; a_4 = 2a_3 - a_2 = 2(2x - 8) - x = 3x - 16.
De onde vem cada valor: = passo 1: segundo termo · = constante: coeficiente obtido pela recorrência · = constante: obtida pela recorrência
Errar a álgebra ao simplificar 2(2x - 8) - x.
Sabemos que a_4 = 47, então podemos montar uma equação e resolver para x.
Por que esta fórmula: Igualamos a expressão do passo 2 ao valor dado no enunciado.
De onde vem cada valor: = passo 2 · = enunciado: quarto termo
Esquecer de somar 16 antes de dividir por 3.
Com x = 21, podemos usar a expressão geral para a_8 obtida pela recorrência.
Por que esta fórmula: Continuando a recorrência até o oitavo termo, obtemos a_8 = 7x - 48. Isso pode ser verificado aplicando a recorrência passo a passo.
De onde vem cada valor: = passo 3: 21 · = constante: coeficiente obtido pela recorrência · = constante: obtida pela recorrência
Usar x = 21 na expressão errada, como a_8 = 8x - 48.
Resposta: 99 — alternativa E
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