Pular para o conteúdo principal

Questão de Raciocínio Lógico — Sequências de Números, Figuras, Letras e Palavras — FGV 2025

Raciocínio LógicoSequências de Números, Figuras, Letras e Palavras
Código
fg168877
Banca
FGV
Órgão
CPRM
Ano
2025
Cargo
Tec Ge ( )

Considere a sequência numérica definida por \alpha_0 = 1,\alpha_1 = 0 e \alpha_{n+2}=\alpha_{n+1}-\alpha_{n}, para todo n \ge 0.

 

O quadro a seguir apresenta os termos iniciais dessa sequência.

 
\alpha_0\alpha_1\alpha_2\alpha_3\alpha_4\alpha_5
10-1-101
 

Qual é o termo \alpha_{316} da sequência?

  1. A1
  2. B– 1
  3. C316
  4. D– 316
  5. E0
Revelar gabarito e comentário

GabaritoE — 0

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Resolução

Gabarito: letra E — a conta chega a α₃₁₆ = 0 — alternativa E.

A ideia por trás

Uma sequência definida por recorrência é uma lista de números em que cada termo é calculado a partir dos anteriores, seguindo uma regra fixa. Aqui a regra é αₙ₊₂ = αₙ₊₁ − αₙ: cada termo (a partir do terceiro) é a diferença entre o termo imediatamente anterior e o termo dois passos antes. Essa regra depende apenas dos dois últimos termos, então quando um par de termos consecutivos se repete, toda a sequência passa a se repetir em ciclos — é o que chamamos de sequência periódica.

Numa sequência periódica, os termos se repetem em blocos fixos. O período é o tamanho desse bloco. Para achar um termo distante, divide-se o índice pelo período e olha-se o resto: o resto indica a posição dentro do bloco. Por exemplo, se o período é 6, o termo α₃₁₆ está na mesma posição que α₄, porque 316 = 6×52 + 4. Essa propriedade vale porque a recorrência é determinística: dados dois termos consecutivos, todos os seguintes são únicos.

Esta questão cobra exatamente essa periodicidade: precisamos calcular alguns termos iniciais, perceber que o bloco (1, 0, −1, −1, 0, 1) se repete, e então usar a divisão de 316 por 6 para localizar o termo pedido sem calcular os 316 termos um a um.

O que a questão dá

  • α₀ = 1

  • α₁ = 0

  • αₙ₊₂ = αₙ₊₁ − αₙ para n ≥ 0

  • termos iniciais: 1, 0, −1, −1, 0, 1

O que queremos: o termo α₃₁₆ da sequência

Passo 1 — Calcular os primeiros termos da sequência

Para descobrir se a sequência é periódica, precisamos gerar alguns termos iniciais usando a regra de recorrência. Cada termo é a diferença entre o anterior e o dois passos antes.

Por que esta fórmula: A própria definição da sequência: αₙ₊₂ = αₙ₊₁ − αₙ. Aplicamos para n = 0, 1, 2, ...

αn+2=αn+1−αn\alpha_{n+2} = \alpha_{n+1} - \alpha_n

De onde vem cada valor: αn+1\alpha_{n+1} = definição: termo anterior, já calculado · αn\alpha_n = definição: termo dois passos antes, já calculado

α2=0−1=−1,α3=−1−0=−1,α4=−1−(−1)=0,α5=0−(−1)=1=1 ,0,−1,−1,0,1\alpha_2 = 0 - 1 = -1, \alpha_3 = -1 - 0 = -1, \alpha_4 = -1 - (-1) = 0, \alpha_5 = 0 - (-1) = 1 = \boxed{1\ , 0, −1, −1, 0, 1}
NÃO CAIA NESSA!

Errar o sinal na subtração, por exemplo, calcular α₄ = −1 − (−1) = 0, mas esquecer que menos com menos dá mais.

Passo 2 — Perceber que a sequência se repete

Com os primeiros termos, vemos que α₆ = 1 = α₀ e α₇ = 0 = α₁. Como a regra depende apenas dos dois últimos termos, quando esse par se repete, toda a sequência se repete a partir dali. Isso define o período.

Por que esta fórmula: Não há fórmula nova; é a observação de que o bloco (1, 0, −1, −1, 0, 1) se repete. O período é o tamanho desse bloco, que é 6.

perıˊodo=6período = \boxed{6}
NÃO CAIA NESSA!

Não perceber a repetição e tentar calcular todos os 316 termos, o que é inviável.

Passo 3 — Dividir o índice pelo período

Para achar um termo distante, usamos a periodicidade: dividimos o índice pelo período e o resto indica a posição no bloco. Isso evita calcular termo a termo.

Por que esta fórmula: A divisão inteira: 316 ÷ 6 = 52 com resto 4. O resto 4 significa que α₃₁₆ está na mesma posição que α₄ dentro do bloco.

316=6×52+4316 = 6 \times 52 + 4

De onde vem cada valor: 316316 = enunciado: índice pedido · 66 = passo 2: período · 5252 = constante: quociente da divisão de 316 por 6 · 44 = constante: resto da divisão de 316 por 6

316=6×52+4316 = 6 \times 52 + 4
resto=4resto = \boxed{4}
NÃO CAIA NESSA!

Errar a divisão, por exemplo, achar resto 5 ou 0, o que levaria a um termo errado.

Passo 4 — Localizar o termo no bloco

O resto 4 indica que α₃₁₆ corresponde ao 5º elemento do bloco (índice 4, pois começamos em 0). No bloco (1, 0, −1, −1, 0, 1), o elemento de índice 4 é 0.

Por que esta fórmula: Não há fórmula; é a leitura direta do bloco. O bloco é (α₀, α₁, α₂, α₃, α₄, α₅) = (1, 0, −1, −1, 0, 1).

α316=0\alpha ₃₁₆ = \boxed{0}
NÃO CAIA NESSA!

Confundir a posição: achar que resto 4 corresponde ao 4º elemento (índice 3) em vez do 5º (índice 4).

Resposta: α₃₁₆ = 0 — alternativa E

Link permanente: /questoes/fg168877