Questão de Raciocínio Lógico — Equivalências Lógicas (Inclui Negação de Proposições Compostas) — FGV 2025

Negação da Condicional: quando o "se... então..." é falso

Gabarito: letra C. A proposição $(\sim r) \to (p \vee q)$ é falsa somente quando o antecedente $\sim r$ é verdadeiro e o consequente $p \vee q$ é falso — o famoso caso V→F da condicional. Isso exige $r$ falso (para $\sim r$ ser V) e $p$ e $q$ ambos falsos (para a disjunção ser F). A alternativa que descreve exatamente essa situação é $(\sim p) \wedge (\sim q) \wedge (\sim r)$, ou seja, a letra C.

A condicional $A \to B$ ("se A, então B") é o conectivo mais traiçoeiro da lógica proposicional, e a razão é simples: ela só é falsa em uma única linha da tabela-verdade — quando o antecedente é verdadeiro e o consequente é falso (V→F). Em todas as outras três combinações (V→V, F→V, F→F), a condicional é verdadeira. Isso contraria o senso comum, que tende a achar que "F→F" deveria ser falso, mas a lógica clássica define que uma implicação com antecedente falso é sempre verdadeira, independentemente do consequente.

Para descobrir quando $(\sim r) \to (p \vee q)$ é falsa, basta forçar o padrão V→F:

1. Antecedente $\sim r$ verdadeiro → a negação de $r$ é V, logo $r$ é falso ($r = F$).

2. Consequente $p \vee q$ falso → a disjunção inclusiva ("ou") só é falsa quando ambos os componentes são falsos. Logo, $p = F$ e $q = F$.

Juntando as duas condições: a proposição original é falsa exatamente quando $p$, $q$ e $r$ são todos falsos. Em notação lógica, isso é a conjunção das negações: $\sim p \wedge \sim q \wedge \sim r$.

A pegadinha clássica da banca é inverter o raciocínio: em vez de perguntar "quando a condicional é falsa?", ela pergunta "qual proposição é verdadeira quando a condicional é falsa?". O candidato que decora a regra "nega o se, mantém o então" (a negação de $A \to B$ é $A \wedge \sim B$) aplica corretamente: $\sim (\sim r \to (p \vee q)) = \sim r \wedge \sim (p \vee q) = \sim r \wedge (\sim p \wedge \sim q) = \sim p \wedge \sim q \wedge \sim r$. É exatamente a alternativa C.

Guarde a fronteira entre negação e equivalência da condicional: a negação de $A \to B$ é $A \wedge \sim B$ (mantém o antecedente, nega o consequente), enquanto as equivalências são $\sim A \vee B$ (nega o antecedente, mantém o consequente) e a contrapositiva $\sim B \to \sim A$. É nessa distinção que as alternativas se dividem.

Alternativa A — ❌ Incorreta

$p \wedge q \wedge r$ afirma que $p$, $q$ e $r$ são todos verdadeiros. Mas, para a condicional ser falsa, vimos que $r$ precisa ser falso (para $\sim r$ ser V). Além disso, $p$ e $q$ precisam ser falsos para a disjunção $p \vee q$ ser F. Portanto, esta alternativa descreve exatamente o oposto da situação pedida. Ela seria verdadeira se a proposição original fosse falsa com $p$, $q$ e $r$ verdadeiros — o que nunca acontece, pois com $r$ verdadeiro o antecedente $\sim r$ é falso, e a condicional F→? é sempre verdadeira.

Alternativa B — ❌ Incorreta

$p \vee q \vee r$ afirma que pelo menos um entre $p$, $q$ e $r$ é verdadeiro. Mas a condicional é falsa apenas quando todos são falsos. Se qualquer um deles for verdadeiro, a disjunção $p \vee q$ (no consequente) ou o antecedente $\sim r$ mudam de valor, e a condicional deixa de ser falsa. Esta alternativa é a negação da correta: enquanto a C exige $\sim p \wedge \sim q \wedge \sim r$ (todos falsos), a B exige $p \vee q \vee r$ (pelo menos um verdadeiro). São proposições contraditórias.

Alternativa C — ✅ Correta ⟵ GABARITO

$(\sim p) \wedge (\sim q) \wedge (\sim r)$ afirma que $p$, $q$ e $r$ são todos falsos. É exatamente a condição que torna a condicional $(\sim r) \to (p \vee q)$ falsa: com $r$ falso, o antecedente $\sim r$ é verdadeiro; com $p$ e $q$ falsos, o consequente $p \vee q$ é falso. Temos V→F, a única combinação que torna a condicional falsa. Esta alternativa é a negação lógica da proposição original, obtida pela regra: $\sim (A \to B) = A \wedge \sim B$, aplicada duas vezes (primeiro na condicional, depois na disjunção via Lei de Morgan).

Alternativa D — ❌ Incorreta

$(\sim p) \vee (\sim q) \vee (\sim r)$ afirma que pelo menos um entre $p$, $q$ e $r$ é falso. Isso é muito mais fraco do que a condição necessária: a condicional só é falsa quando todos são falsos. Se, por exemplo, $p$ for falso mas $q$ e $r$ forem verdadeiros, a disjunção $p \vee q$ é verdadeira (pois $q$ é V), e a condicional V→V é verdadeira — não falsa. Esta alternativa é a negação da alternativa A (que exige todos verdadeiros), mas não é a negação da proposição original. Ela confunde a negação da conjunção com a negação da condicional.

Alternativa E — ❌ Incorreta

$(p \vee q) \to (\sim r)$ é a recíproca da proposição original: inverte antecedente e consequente. A recíproca não é logicamente equivalente à original — uma pode ser falsa enquanto a outra é verdadeira. Por exemplo, com $p = V$, $q = F$, $r = F$: a original $(\sim r) \to (p \vee q)$ é V→V = V, mas a recíproca $(p \vee q) \to (\sim r)$ é V→V = V também. Já com $p = F$, $q = F$, $r = V$: a original é F→F = V, mas a recíproca é F→F = V. Para achar um contraexemplo, tome $p = V$, $q = F$, $r = V$: a original é F→V = V, mas a recíproca é V→F = F. Portanto, a recíproca não descreve a condição de falsidade da original — ela é uma proposição diferente, com tabela-verdade distinta.

Gabarito: letra C — a proposição $(\sim r) \to (p \vee q)$ é falsa se, e somente se, $(\sim p) \wedge (\sim q) \wedge (\sim r)$ for verdadeira.