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Questão de Matemática — Geometria Analítica — FUNDATEC 2024

MatemáticaGeometria Analítica
Código
qg161854
Banca
FUNDATEC
Órgão
AL-RS
Ano
2024
Nível
Médio
Cargo
Técnico Legislativo
A área do triângulo formado pelos pontos no plano cartesiano dados por (1,2) (5,2) e (3,6) é:
  1. A4.
  2. B8.
  3. C12.
  4. D16.
  5. E24.
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GabaritoB — 8.

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Resolução

Gabarito: letra B — a conta chega a 8 unidades de área (alternativa B).

A ideia por trás

A área de um triângulo no plano cartesiano pode ser calculada de duas formas principais: pela fórmula do determinante (Shoelace) ou geometricamente, identificando base e altura. A fórmula do determinante é geral e segura: ela vem do produto vetorial em 2D, onde a área do paralelogramo formado por dois vetores é o módulo do determinante, e o triângulo é metade disso. Geometricamente, quando dois pontos têm a mesma coordenada y, a base é horizontal e a altura é a diferença das coordenadas y do terceiro ponto. Nesta questão, os pontos (1,2) e (5,2) estão na mesma reta horizontal, então a base é fácil de achar; a altura é a distância vertical até (3,6).

O que a questão dá

  • Ponto A = (1, 2)

  • Ponto B = (5, 2)

  • Ponto C = (3, 6)

O que queremos: a área do triângulo formado por esses pontos

Passo 1 — Identificar a base horizontal

Os pontos (1,2) e (5,2) têm a mesma coordenada y, então o segmento entre eles é horizontal. Isso facilita: a base do triângulo é a distância entre esses dois pontos, que é a diferença das coordenadas x.

Por que esta fórmula: A distância entre dois pontos na mesma horizontal é simplesmente a diferença das abscissas, pois a variação em y é zero.

b=∣x2−x1∣b = |x_2 - x_1|

De onde vem cada valor: x2x_2 = enunciado: 5 (do ponto B) · x1x_1 = enunciado: 1 (do ponto A)

b=∣5−1∣=4=4 unidadesdecomprimentob = |5 - 1| = 4 = \boxed{4\ \text{unidades} \text{de} \text{comprimento}}
NÃO CAIA NESSA!

Inverter a ordem e obter -4, mas o módulo corrige; ou usar a distância entre (1,2) e (3,6), que não é a base.

Passo 2 — Calcular a altura relativa à base

A altura do triângulo é a distância perpendicular da base ao vértice oposto. Como a base é horizontal (y=2), a altura é a diferença vertical entre o y do ponto C e o y da base.

Por que esta fórmula: A distância vertical entre dois pontos é a diferença de suas coordenadas y, pois a variação em x não influencia.

h=∣y3−y1∣h = |y_3 - y_1|

De onde vem cada valor: y3y_3 = enunciado: 6 (do ponto C) · y1y_1 = enunciado: 2 (do ponto A, que está na base)

h=∣6−2∣=4=4 unidadesdecomprimentoh = |6 - 2| = 4 = \boxed{4\ \text{unidades} \text{de} \text{comprimento}}
NÃO CAIA NESSA!

Usar a distância entre (3,6) e (5,2) ou (1,2), que não é perpendicular à base.

Passo 3 — Aplicar a fórmula da área do triângulo

Com a base e a altura conhecidas, a área do triângulo é metade do produto base vezes altura. Essa é a fórmula clássica da geometria plana.

Por que esta fórmula: A área de qualquer triângulo é dada por (base × altura) / 2, pois um triângulo é metade de um retângulo com a mesma base e altura.

A=b⋅h2A = \frac{b \cdot h}{2}

De onde vem cada valor: bb = passo 1: 4 · hh = passo 2: 4

A=4⋅42=162=8=8 unidadesdeaˊreaA = \frac{4 \cdot 4}{2} = \frac{16}{2} = 8 = \boxed{8\ \text{unidades} \text{de} á\text{rea}}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de dividir por 2, obtendo 16 (alternativa D).

Resposta: 8 unidades de área (alternativa B)

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