Matemática · FUNDATEC · 2024 | Questão sqc-qg161973

Múltiplos e divisores naturais

Gabarito: letra C — a sequência correta é F – F – V – V. O número 12 possui infinitos múltiplos naturais (não 6), e todo número natural possui um número finito de divisores (não infinito); já o 31, por ser primo, tem exatamente 2 divisores (1 e ele mesmo), e o 12 tem 6 divisores (1, 2, 3, 4, 6, 12).

A questão testa dois conceitos que costumam ser confundidos: múltiplos e divisores. Múltiplos de um número natural são obtidos multiplicando esse número por cada elemento do conjunto dos números naturais (0, 1, 2, 3, ...). Como o conjunto dos naturais é infinito, todo número natural tem infinitos múltiplos. Já os divisores são os números que dividem o número de forma exata (resto zero); o conjunto de divisores de um número natural é sempre finito, pois o menor divisor é 1 e o maior é o próprio número.

A pegadinha da banca está em inverter as propriedades: dizer que 12 tem 6 múltiplos (quando tem infinitos) e que todo número tem infinitos divisores (quando tem finitos). O número 12, por exemplo, tem 6 divisores — 1, 2, 3, 4, 6 e 12 — mas infinitos múltiplos: 0, 12, 24, 36, 48, ...

1ª assertiva — ❌ Falsa

Conceito:
Os múltiplos de um número natural são obtidos multiplicando-o por cada elemento do conjunto dos números naturais. Como esse conjunto é infinito, todo número natural possui infinitos múltiplos.

O número 12 tem infinitos múltiplos naturais (0, 12, 24, 36, 48, ...), não apenas 6. A assertiva está errada ao afirmar que são 6.

2ª assertiva — ❌ Falsa

Conceito:
Os divisores de um número natural são os números que o dividem de forma exata. O menor divisor é 1 e o maior é o próprio número, portanto o conjunto de divisores é sempre finito.

Todo número natural possui um número finito de divisores, não infinito. A assertiva inverte a propriedade: finito é o conjunto de divisores; infinito é o conjunto de múltiplos.

3ª assertiva — ✅ Verdadeira

Conceito:
Um número natural maior do que 1 é primo quando possui apenas dois divisores naturais distintos: o número 1 e ele mesmo.

O número 31 é primo (não é divisível por 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29), portanto possui exatamente 2 divisores: 1 e 31. A assertiva está correta.

4ª assertiva — ✅ Verdadeira

Conceito:
Os divisores de 12 são os números que o dividem de forma exata: 1, 2, 3, 4, 6 e 12.

O número 12 possui 6 divisores naturais: 1, 2, 3, 4, 6 e 12. A assertiva está correta.

Conclusão: corretas apenas as assertivas 3 e 4 → sequência F – F – V – V → letra C.

Assertiva	Afirmação	Valor lógico	Justificativa
1ª	"O número 12 possui 6 múltiplos naturais."	F	12 possui infinitos múltiplos naturais (0, 12, 24, 36, ...), não apenas 6.
2ª	"Todo número natural possui um número infinito de divisores naturais."	F	Todo número natural possui um número finito de divisores (o menor é 1 e o maior é o próprio número).
3ª	"O número 31 possui 2 divisores naturais."	V	31 é primo, logo possui exatamente 2 divisores: 1 e 31.
4ª	"O número 12 possui 6 divisores naturais."	V	Os divisores de 12 são 1, 2, 3, 4, 6 e 12 — total de 6 divisores.

Múltiplos: Obtidos por multiplicação; Infinitos; Ex.: 12 → 0, 12, 24, 36...; Divisores (Divisão exata (resto zero), Finitos, Ex.: 12 → 1, 2, 3, 4, 6, 12); Número primo (Exatamente 2 divisores, Ex.: 31 → 1 e 31)

NÃO CAIA NESSA!

A banca adora inverter as propriedades de múltiplos e divisores. Aqui, a 1ª assertiva diz que 12 tem 6 múltiplos (quando tem infinitos) e a 2ª diz que todo número tem infinitos divisores (quando tem finitos). Lembre-se: múltiplos são infinitos, divisores são finitos — essa é a chave para não cair na troca. 💪

PEGA ESSA DICA!

Para contar divisores de um número, fatore-o e use a fórmula: se $n = p_1^{e_1} \cdot p_2^{e_2} \cdots p_k^{e_k}$ , o número de divisores é $(e_1+1)(e_2+1)\cdots(e_k+1)$ . Para 12 = $2^2 \cdot 3^1$ , temos $(2+1)(1+1) = 6$ divisores. Já os múltiplos são sempre infinitos — não há o que contar.

Gabarito: letra C