Questão de Matemática — Problemas — FUNDATEC 2024

Resolução

Gabarito: letra A — a conta chega a -48 (alternativa A).

A ideia por trás

O valor numérico de uma expressão algébrica é o número que se obtém ao substituir as letras pelos valores dados e fazer as contas na ordem certa. Aqui a expressão tem dois termos: -2ab (uma multiplicação) e a³ (uma potência). A ordem das operações manda resolver potências antes de multiplicações e somas, mas como os termos estão separados por um sinal de mais, podemos calcular cada um separado e depois somar. O cuidado especial está nos sinais: multiplicar dois números negativos dá positivo, e elevar um número negativo a um expoente ímpar mantém o sinal negativo. Nesta questão, o que decide é saber que (-4)³ = -64 e que -2·(-4)·2 = +16, para então somar 16 + (-64) = -48.

O que a questão dá

• a = -4

• b = 2

O que queremos: o valor numérico da expressão -2ab + a³

Passo 1 — Calcular o termo -2ab

A expressão tem dois termos separados por um sinal de mais. O primeiro termo é -2ab, que é uma multiplicação de três fatores: -2, a e b. Precisamos substituir a e b pelos valores dados e efetuar a multiplicação, respeitando a regra de sinais: menos vezes menos dá mais.

Por que esta fórmula: Esta é a definição de multiplicação de números com sinais: o produto de dois números negativos é positivo, e o produto de um positivo por um negativo é negativo. Aqui temos -2 (negativo) vezes -4 (negativo), que dá +8, e depois vezes 2 (positivo), que mantém o sinal positivo.

De onde vem cada valor: $-2$ = enunciado: coeficiente da expressão · $a$ = enunciado: a = -4 · $b$ = enunciado: b = 2

Passo 2 — Calcular o termo a³

O segundo termo é a³, que é uma potência. Precisamos elevar a = -4 ao cubo, ou seja, multiplicar -4 por si mesmo três vezes. A regra dos sinais na potenciação: se a base é negativa e o expoente é ímpar, o resultado é negativo.

Por que esta fórmula: Potenciação é uma multiplicação repetida: a³ = a·a·a. Como o expoente é 3 (ímpar), o sinal da base se mantém: (-4)³ = (-4)·(-4)·(-4) = +16·(-4) = -64.

De onde vem cada valor: $a$ = enunciado: a = -4

Passo 3 — Somar os dois termos

Agora que temos os valores de cada termo, precisamos somá-los, pois a expressão original é -2ab + a³. Somar um número positivo com um negativo é o mesmo que subtrair o menor do maior, mantendo o sinal do maior.

Por que esta fórmula: A adição de números com sinais diferentes: subtrai-se o menor valor absoluto do maior e conserva-se o sinal do de maior valor absoluto. Aqui, 16 + (-64) = -(64 - 16) = -48.

De onde vem cada valor: $16$ = passo 1 · $-64$ = passo 2

Resposta: -48 (alternativa A)