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Questão de Matemática — Funções — FUNDATEC 2024

MatemáticaFunções
Código
qg162699
Banca
FUNDATEC
Órgão
Câmara de Venâncio Aires - RS
Ano
2024
Nível
Fundamental
Cargo
Auxiliar Legislativo
Qual é o valor de p para que o gráfico da função quadrática f(x) = x² /3 + px passe pelo ponto (2, − 13/6 ) ?
  1. A- 7/4
  2. B- 3/4
  3. C1
  4. D7/4
  5. E3/4
Revelar gabarito e comentário

GabaritoA — - 7/4

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Resolução

Gabarito: letra A — a conta chega a p = -7/4, alternativa A.

A ideia por trás

Uma função quadrática é uma relação que associa a cada valor de x um único valor de y, e seu gráfico é uma parábola. Dizer que um ponto (x₀, y₀) pertence ao gráfico significa exatamente que, ao substituir x por x₀ na expressão da função, o resultado é y₀ — ou seja, f(x₀) = y₀. Essa é a condição que liga o ponto à função, e é ela que permite descobrir um parâmetro desconhecido como p. Nesta questão, a função é f(x) = x²/3 + px, uma parábola com concavidade para cima (pois o coeficiente de x² é positivo), e o ponto dado fornece um par (x, y) que deve satisfazer essa igualdade. Portanto, o caminho é substituir x = 2 e f(2) = -13/6 na expressão e resolver a equação resultante para p.

O que a questão dá

  • função: f(x) = x²/3 + px

  • ponto: (2, -13/6)

O que queremos: o valor de p para que o ponto (2, -13/6) pertença ao gráfico de f

Passo 1 — Substituir x por 2 na função

Para que o ponto (2, -13/6) pertença ao gráfico, o valor da função em x = 2 deve ser exatamente -13/6. Então, o primeiro passo é calcular f(2) usando a expressão dada, deixando p como incógnita.

Por que esta fórmula: A função é f(x) = x²/3 + px. Substituindo x por 2, temos f(2) = 2²/3 + p·2, pois cada x na expressão é trocado por 2.

f(2) = frac2^23 + p · 2

De onde vem cada valor: 222^{2} = enunciado: x = 2 · 33 = enunciado: denominador da função · pp = enunciado: coeficiente de x (incógnita) · 22 = enunciado: x = 2

f(2)=43+2pf(2) = \frac{4}{3} + 2p
f(2)=4 /3+2pf(2) = \boxed{4\ /3 + 2\text{p}}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de multiplicar p por 2, escrevendo f(2) = 4/3 + p, o que leva a um valor errado de p.

Passo 2 — Igualar f(2) ao valor do ponto

A condição de pertencimento é que f(2) seja igual à ordenada do ponto, que é -13/6. Agora que temos a expressão de f(2), montamos a equação que vai determinar p.

Por que esta fórmula: Como o ponto (2, -13/6) está no gráfico, vale f(2) = -13/6. Substituímos f(2) pela expressão obtida no passo anterior.

43+2p=−136\frac{4}{3} + 2p = -\frac{13}{6}

De onde vem cada valor: 43\frac{4}{3} = passo 1: resultado de 2²/3 · 2p2p = passo 1: p·2 · −136-\frac{13}{6} = enunciado: y do ponto

43+2p=−136\frac{4}{3} + 2p = -\frac{13}{6}

equação montada

NÃO CAIA NESSA!

Trocar o sinal do lado direito, escrevendo +13/6, o que inverte o resultado final.

Passo 3 — Isolar o termo com p

Para encontrar p, precisamos deixá-lo sozinho em um lado da equação. Subtrair 4/3 dos dois lados mantém a igualdade e elimina o termo constante do lado esquerdo.

Por que esta fórmula: A equação é 4/3 + 2p = -13/6. Subtraindo 4/3 de ambos os lados, obtemos 2p = -13/6 - 4/3, que é o passo algébrico para isolar o termo que contém p.

2p=−136−432p = -\frac{13}{6} - \frac{4}{3}

De onde vem cada valor: 2p2p = passo 2: termo com p · −136-\frac{13}{6} = passo 2: lado direito · −43-\frac{4}{3} = passo 2: termo subtraído

2p=−136−432p = -\frac{13}{6} - \frac{4}{3}
2p=−13 /6−4/32p = \boxed{-13\ /6 - 4/3}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de subtrair 4/3 também do lado direito, ou errar o sinal ao mover o termo.

Passo 4 — Igualar os denominadores das frações

Para subtrair as frações -13/6 e 4/3, elas precisam ter o mesmo denominador. Como 6 é múltiplo de 3, convertemos 4/3 para oitavos, multiplicando numerador e denominador por 2.

Por que esta fórmula: A fração 4/3 equivale a 8/6, pois 4·2 = 8 e 3·2 = 6. Isso permite combinar os numeradores sobre o denominador comum 6.

43=4⋅23⋅2=86\frac{4}{3} = \frac{4 \cdot 2}{3 \cdot 2} = \frac{8}{6}

De onde vem cada valor: 44 = passo 3: numerador de 4/3 · 33 = passo 3: denominador de 4/3 · 22 = fator para igualar denominador a 6

43=86=8 /6\frac{4}{3} = \frac{8}{6} = \boxed{8\ /6}
NÃO CAIA NESSA!

Multiplicar apenas o numerador, esquecendo o denominador, resultando em 8/3.

Passo 5 — Subtrair as frações

Com os denominadores iguais, a subtração fica direta: subtraímos os numeradores e mantemos o denominador. Isso simplifica o lado direito da equação.

Por que esta fórmula: Temos -13/6 - 8/6 = (-13 - 8)/6 = -21/6. Depois simplificamos dividindo numerador e denominador por 3, obtendo -7/2.

−136−86=−13−86=−216=−72-\frac{13}{6} - \frac{8}{6} = \frac{-13 - 8}{6} = -\frac{21}{6} = -\frac{7}{2}

De onde vem cada valor: −136-\frac{13}{6} = passo 3: primeiro termo · 86\frac{8}{6} = passo 4: segundo termo convertido

−136−86=−216=−7 /2-\frac{13}{6} - \frac{8}{6} = -\frac{21}{6} = \boxed{-7\ /2}
NÃO CAIA NESSA!

Errar a soma dos numeradores, por exemplo, fazendo -13 + 8 = -5, em vez de -13 - 8 = -21.

Passo 6 — Dividir ambos os lados por 2

A equação agora é 2p = -7/2. Para isolar p, dividimos os dois lados por 2, pois p está multiplicado por 2.

Por que esta fórmula: Dividir por 2 é a operação inversa da multiplicação por 2. Assim, p = (-7/2) / 2 = -7/4.

p=−7/22=−74p = \frac{-7/2}{2} = -\frac{7}{4}

De onde vem cada valor: −72-\frac{7}{2} = passo 5: valor de 2p · 22 = coeficiente de p

p=−72÷2=−74=−7 /4p = \frac{-7}{2} \div 2 = -\frac{7}{4} = \boxed{-7\ /4}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de dividir o numerador, obtendo p = -7/2, ou errar o sinal.

Resposta: p = -7/4, alternativa A

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