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Questão de Matemática Financeira — Juros compostos — FUNDATEC 2024

Matemática FinanceiraJuros compostos
Código
qg164255
Banca
FUNDATEC
Órgão
IF Sul - MG
Ano
2024
Nível
Superior
Cargo
Professor do Ensino Básico, técnico e Tecnológico: CDM-01 - Administração
A empresa Tri Representações tomou um empréstimo de R$ 200.000,00 para expandir suas operações. O empréstimo será quitado integralmente ao final de 3 anos, com uma taxa de juros compostos de 12% ao ano. Considerando que não haverá pagamentos intermediários, qual será o valor total aproximado a ser pago pela Tri Representações ao final do terceiro ano?
  1. AR$ 280.985,60.
  2. BR$ 284.000,00.
  3. CR$ 290.920,80.
  4. DR$ 300.000,00.
  5. ER$ 315.000,00.
Revelar gabarito e comentário

GabaritoA — R$ 280.985,60.

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Resolução

Gabarito: letra A — a conta chega a R$ 280.985,60 — alternativa A.

A ideia por trás

Juros compostos são a forma de crescimento de um valor em que, a cada período, os juros são calculados sobre o montante já acumulado — ou seja, os juros geram novos juros. Isso faz o valor crescer de forma exponencial, e não linear como nos juros simples. A unidade da taxa deve estar na mesma base do período (aqui, ao ano). A relação que governa é o montante M = C × (1 + i)^n, onde C é o capital inicial, i é a taxa por período (em decimal) e n é o número de períodos. Quando i aumenta, o fator (1+i)^n cresce; quando n aumenta, o crescimento é ainda mais forte porque está no expoente. Nesta questão, não há pagamentos intermediários, então o valor devido é exatamente o montante acumulado após 3 anos. O desafio é aplicar corretamente a potência e evitar erros de arredondamento.

O que a questão dá

  • capital = R$ 200.000,00

  • taxa = 12% ao ano

  • prazo = 3 anos

O que queremos: o montante (valor total) a ser pago ao final de 3 anos

Passo 1 — Converter a taxa percentual em decimal

A fórmula do montante exige a taxa na forma decimal, porque a porcentagem é uma fração de 100. Dividir por 100 transforma '12 por cento' no número que será somado a 1 no fator de capitalização.

Por que esta fórmula: A conversão de porcentagem para decimal é sempre dividir por 100, pois 'por cento' significa 'por cem'.

i=12100i = \frac{12}{100}

De onde vem cada valor: 1212 = enunciado: taxa de 12% ao ano

i=12100=0,12i = \frac{12}{100} = \boxed{0{,}12}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de dividir por 100 e usar 12 na fórmula, o que daria um montante absurdo.

Passo 2 — Calcular o fator de capitalização (1+i)^n

O fator (1+i)^n é o coração dos juros compostos: ele mostra quanto o capital é multiplicado após n períodos. Como a taxa é 0,12 e o prazo é 3 anos, precisamos elevar 1,12 ao cubo.

Por que esta fórmula: A fórmula do montante em juros compostos é M = C × (1+i)^n; o fator (1+i)^n é a parte que concentra o efeito dos juros sobre juros.

(1+i)n=(1+0,12)3(1+i)^n = (1+0{,}12)^{3}

De onde vem cada valor: 0,120{,}12 = passo 1 · 33 = enunciado: prazo de 3 anos

(1+0,12)3=1,123=1,404928(1+0{,}12)^{3} = 1{,}12^{3} = \boxed{1{,}404928}
NÃO CAIA NESSA!

Arredondar 1,12^3 para 1,42, o que leva à alternativa B (R$ 284.000,00).

Passo 3 — Multiplicar o capital pelo fator para obter o montante

Com o fator de capitalização calculado, o montante é o capital inicial vezes esse fator. Isso aplica o crescimento composto ao valor emprestado.

Por que esta fórmula: A fórmula do montante M = C × (1+i)^n já foi montada; agora basta substituir os valores.

M=C×(1+i)nM = C \times (1+i)^n

De onde vem cada valor: CC = enunciado: R$ 200.000,00 · (1+i)n(1+i)^n = passo 2: 1,404928

M=200000×1,404928=280.985,60M = 200000 \times 1{,}404928 = \boxed{280.985{,}60}
NÃO CAIA NESSA!

Usar o capital como 200 (em milhares) ou errar a multiplicação, resultando em valores como R$ 280,98.

Resposta: R$ 280.985,60 — alternativa A

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