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Questão de Matemática — Aritmética e Problemas — FUNDATEC 2024

MatemáticaAritmética e Problemas
Código
qg166066
Banca
FUNDATEC
Órgão
PalcoParaná - PR
Ano
2024
Nível
Superior
Cargo
Fisioterapeuta
Quatro máquinas injetoras produzem 240 peças de um componente de calçado a cada 2 horas. Qual é o tempo aproximado, em horas, que 3 máquinas injetoras levarão para produzir 8.400 peças iguais às primeiras?
  1. A75.
  2. B87.
  3. C93.
  4. D101.
  5. E112.
Revelar gabarito e comentário

GabaritoC — 93.

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Resolução

Gabarito: letra C — a conta chega a 93 horas (alternativa C).

A ideia por trás

A regra de três composta é usada quando temos três ou mais grandezas relacionadas entre si. Ela permite descobrir um valor desconhecido a partir de outros conhecidos, desde que identifiquemos como cada grandeza se relaciona com a incógnita: se uma aumenta e a outra também, são diretamente proporcionais; se uma aumenta e a outra diminui, são inversamente proporcionais. Nesta questão, o tempo é a incógnita: mais máquinas reduzem o tempo (inversa), e mais peças aumentam o tempo (direta).

O que a questão dá

  • 4 máquinas produzem 240 peças em 2 horas

  • 3 máquinas devem produzir 8400 peças

O que queremos: o tempo aproximado, em horas, que 3 máquinas levarão para produzir 8400 peças

Passo 1 — Montar a tabela de grandezas

Precisamos organizar os dados do enunciado para comparar as grandezas. A tabela mostra a situação inicial (4 máquinas, 240 peças, 2 horas) e a final (3 máquinas, 8400 peças, x horas). Isso facilita visualizar as relações de proporcionalidade.

NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de incluir todas as grandezas na tabela, como o número de máquinas.

Passo 2 — Comparar máquinas com o tempo

Para montar a equação da regra de três, precisamos saber se cada grandeza é direta ou inversamente proporcional ao tempo. Máquinas e tempo são inversamente proporcionais: se aumentarmos o número de máquinas, o tempo para produzir a mesma quantidade diminui. Então, ao montar a fração, invertemos a razão das máquinas.

Por que esta fórmula: Na regra de três composta, quando a grandeza é inversamente proporcional à incógnita, invertemos a fração correspondente. Aqui, a razão de máquinas é 4/3 (inicial/final), mas como é inversa, usamos 3/4.

34\frac{3}{4}

De onde vem cada valor: 33 = enunciado: 3 máquinas na situação final · 44 = enunciado: 4 máquinas na situação inicial

34=3 /4\frac{3}{4} = \boxed{3\ /4}
NÃO CAIA NESSA!

Não inverter a fração, usando 4/3, o que levaria a um tempo menor que o correto.

Passo 3 — Comparar peças com o tempo

Agora comparamos a quantidade de peças com o tempo. Peças e tempo são diretamente proporcionais: quanto mais peças, mais tempo é necessário. Então mantemos a razão na ordem direta.

Por que esta fórmula: Como é diretamente proporcional, a fração é a razão entre a quantidade final e a inicial de peças, sem inverter.

8400240\frac{8400}{240}

De onde vem cada valor: 84008400 = enunciado: 8400 peças na situação final · 240240 = enunciado: 240 peças na situação inicial

8400240=35\frac{8400}{240} = \boxed{35}
NÃO CAIA NESSA!

Inverter a fração, tratando como inversa, o que daria um tempo muito menor.

Passo 4 — Montar a equação da regra de três

Com as frações de cada grandeza, montamos a proporção. O tempo inicial (2) sobre o tempo final (x) é igual ao produto das frações das outras grandezas, já ajustadas pela proporcionalidade.

Por que esta fórmula: Na regra de três composta, a razão da incógnita (tempo) é igual ao produto das razões das outras grandezas, cada uma na forma correta (direta ou invertida).

2x=34×8400240\frac{2}{x} = \frac{3}{4} \times \frac{8400}{240}

De onde vem cada valor: 22 = enunciado: 2 horas na situação inicial · xx = incógnita: tempo final · 34\frac{3}{4} = passo 2 · 8400240\frac{8400}{240} = passo 3

2x=34×8400240\frac{2}{x} = \frac{3}{4} \times \frac{8400}{240}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de multiplicar as frações ou inverter a ordem.

Passo 5 — Simplificar a fração das peças

Antes de multiplicar, simplificamos a fração 8400/240 para facilitar os cálculos. Dividindo numerador e denominador por 240, obtemos 35/1, ou seja, 35.

Por que esta fórmula: Simplificar frações reduz os números e evita erros de cálculo. Aqui, 8400 ÷ 240 = 35.

8400240=35\frac{8400}{240} = 35

De onde vem cada valor: 84008400 = enunciado · 240240 = enunciado

8400240=35=35\frac{8400}{240} = 35 = \boxed{35}
NÃO CAIA NESSA!

Não simplificar e tentar multiplicar números grandes, aumentando a chance de erro.

Passo 6 — Multiplicar as frações do lado direito

Agora multiplicamos as frações 3/4 e 35 para obter um único número, que será usado na proporção.

Por que esta fórmula: Multiplicação de frações: multiplica numeradores e denominadores.

34×35=3×354=1054\frac{3}{4} \times 35 = \frac{3 \times 35}{4} = \frac{105}{4}

De onde vem cada valor: 34\frac{3}{4} = passo 2 · 3535 = passo 5

34×35=1054=105 /4\frac{3}{4} \times 35 = \frac{105}{4} = \boxed{105\ /4}
NÃO CAIA NESSA!

Multiplicar 3 por 4 e 35 por 1, invertendo os termos.

Passo 7 — Resolver a proporção para x

Com a equação 2/x = 105/4, usamos a multiplicação cruzada para isolar x. Isso nos dá o tempo final.

Por que esta fórmula: A relação correta é que a razão entre o produto máquinas×tempo e o número de peças é constante. Então (4×2)/240 = (3×x)/8400.

4×2240=3×x8400\frac{4 \times 2}{240} = \frac{3 \times x}{8400}

De onde vem cada valor: 44 = enunciado · 22 = enunciado · 240240 = enunciado · 33 = enunciado · xx = incógnita · 84008400 = enunciado

4×2240=3×x8400\frac{4 \times 2}{240} = \frac{3 \times x}{8400}
NÃO CAIA NESSA!

Montar a equação de forma incorreta, invertendo as frações.

Passo 8 — Calcular o valor de x

Resolvemos a equação para encontrar o tempo. Multiplicamos cruzado e isolamos x.

Por que esta fórmula: Multiplicação cruzada: 4×2×8400 = 240×3×x, simplificando.

x=4×2×8400240×3x = \frac{4 \times 2 \times 8400}{240 \times 3}

De onde vem cada valor: 44 = enunciado · 22 = enunciado · 84008400 = enunciado · 240240 = enunciado · 33 = enunciado

x=4×2×8400240×3=67200720=93,33=93,33 horasx = \frac{4 \times 2 \times 8400}{240 \times 3} = \frac{67200}{720} = 93{,}33 = \boxed{93{,}33\ \text{horas}}
NÃO CAIA NESSA!

Errar na multiplicação ou divisão, ou esquecer de simplificar.

Resposta: 93 horas (alternativa C)

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