Matemática · FUNDATEC · 2024 | Questão sqc-qg166276

Resolução

Gabarito: letra E — a conta chega a 24 horas (alternativa E).

A ideia por trás

O Mínimo Múltiplo Comum (MMC) entre dois ou mais números é o menor número positivo que é múltiplo de todos eles. No dia a dia, ele serve para descobrir quando eventos que se repetem em intervalos regulares coincidem novamente: se um ônibus passa a cada 10 minutos e outro a cada 15, o MMC (30) diz que eles se encontram a cada meia hora. A relação que governa é a decomposição em fatores primos: cada número é escrito como produto de primos, e o MMC é o produto dos fatores com o maior expoente que aparece. Isso funciona porque, para um número ser múltiplo de todos, ele precisa conter todos os fatores primos de cada um, na maior potência necessária. Nesta questão, os três remédios são tomados em intervalos de 4, 6 e 8 horas; o próximo momento em que coincidem é exatamente o MMC desses três números.

O que a questão dá

primeiro remédio: a cada 4 horas
segundo remédio: a cada 6 horas
terceiro remédio: a cada 8 horas

O que queremos: em quantas horas os três remédios serão tomados juntos novamente

Passo 1 — Fatorar cada intervalo em primos

Para calcular o MMC, precisamos decompor cada número em fatores primos. Isso transforma os números em 'blocos' de primos, permitindo comparar quais potências são necessárias para que um número seja múltiplo de todos.

Por que esta fórmula: A fatoração em primos é a base do cálculo do MMC: todo número inteiro pode ser escrito como produto de primos, e o MMC será o produto dos primos com o maior expoente encontrado.

4 = 2^{2}, \quad 6 = 2 \times 3, \quad 8 = 2^{3}

De onde vem cada valor: $4$ = enunciado: primeiro remédio a cada 4 horas · $6$ = enunciado: segundo remédio a cada 6 horas · $8$ = enunciado: terceiro remédio a cada 8 horas

4 = 2^{2}, \quad 6 = 2 \times 3, \quad 8 = 2^{3}

4 = 2², 6 = 2·3, 8 = 2³

NÃO CAIA NESSA!

Esquecer que 6 = 2·3, achando que só tem fator 2.

Passo 2 — Tomar os maiores expoentes de cada primo

Agora que temos as fatorações, precisamos escolher, para cada primo (2 e 3), o maior expoente que aparece. Isso garante que o MMC seja divisível por todos os números, pois terá pelo menos a quantidade de fatores que cada um exige.

Por que esta fórmula: O MMC é o produto dos fatores primos com o maior expoente. Para o primo 2, os expoentes são 2 (em 4), 1 (em 6) e 3 (em 8); o maior é 3. Para o primo 3, o expoente é 1 (em 6).

MMC = 2^{3} \times 3

De onde vem cada valor: $2^{3}$ = passo 1: 8 = 2³, maior expoente de 2 · $3$ = passo 1: 6 = 2·3, único fator 3

MMC = 2^{3} \times 3 = \boxed{2\ ^{3} \times 3}

NÃO CAIA NESSA!

Usar o menor expoente (2¹) em vez do maior, o que daria 6 e estaria errado.

Passo 3 — Calcular o produto final

Com os fatores escolhidos, basta multiplicar para obter o MMC. Esse número é o menor múltiplo comum, ou seja, o tempo em horas até os três remédios coincidirem.

Por que esta fórmula: A multiplicação 2³ × 3 = 8 × 3 = 24 é a operação final que materializa o MMC.

MMC = 2^{3} \times 3 = 8 \times 3

De onde vem cada valor: $2^{3}$ = passo 2: maior expoente de 2 · $3$ = passo 2: fator 3

MMC = 8 \times 3 = \boxed{24\ \text{horas}}

NÃO CAIA NESSA!

Errar a multiplicação 8×3, ou esquecer de incluir o fator 3, resultando em 8.

Resposta: 24 horas (alternativa E)

Questão de Matemática — Raciocínio Lógico — FUNDATEC 2024

Resolução

A ideia por trás

O que a questão dá

Passo 1 — Fatorar cada intervalo em primos

Passo 2 — Tomar os maiores expoentes de cada primo

Passo 3 — Calcular o produto final