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Questão de Matemática — Aritmética e Problemas — FUNDATEC 2024

MatemáticaAritmética e Problemas
Código
qg166375
Banca
FUNDATEC
Órgão
Prefeitura de Alpestre - RS
Ano
2024
Nível
Fundamental
Cargo
Borracheiro

Um quadrado mágico é chamado assim porque a soma dos números de cada linha, coluna ou diagonal é sempre a mesma. Chama-se constante mágica o valor dessa soma. No quadrado mágico apresentado abaixo, falta o número central.

72

57

78

75


63

60

81

66


Para que este quadrado seja realmente mágico, o valor central deve ser capaz de igualar as somas nas linhas, colunas e diagonais. Qual das alternativas abaixo apresenta o valor correto que fará as somas serem iguais, garantindo que o quadrado é mágico?

  1. A65.
  2. B67.
  3. C69.
  4. D71.
  5. E73.
Revelar gabarito e comentário

GabaritoC — 69.

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Resolução

Gabarito: letra C — a conta chega a 69 (alternativa C).

A ideia por trás

Um quadrado mágico de ordem 3 é uma grade 3×3 onde a soma dos números em cada linha, coluna e diagonal é sempre a mesma; esse valor comum é chamado de constante mágica. A propriedade essencial é que, se uma linha, coluna ou diagonal já está completa, ela revela a constante mágica, e todas as outras somas devem ser iguais a ela. Nesta questão, a primeira linha está completa, então calculamos sua soma para obter a constante mágica e depois usamos essa constante para encontrar o número central que faz as diagonais e a coluna central também somarem esse valor.

O que a questão dá

  • primeira linha: 72, 57, 78

  • diagonal principal: 72, ?, 66

  • diagonal secundária: 78, ?, 60

  • coluna central: 57, ?, 81

O que queremos: o número central que torna o quadrado mágico

Passo 1 — Calcular a soma da primeira linha

A primeira linha está completa, então sua soma nos dá a constante mágica — o valor que todas as linhas, colunas e diagonais devem ter. Sem essa referência, não há como saber qual número central é o correto.

Por que esta fórmula: A soma de uma linha é simplesmente a adição dos três números que a compõem.

S=72+57+78S = 72 + 57 + 78

De onde vem cada valor: 7272 = enunciado: primeira linha, primeiro número · 5757 = enunciado: primeira linha, segundo número · 7878 = enunciado: primeira linha, terceiro número

S=72+57+78=207S = 72 + 57 + 78 = \boxed{207}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de somar todos os três números ou errar a adição, obtendo um valor diferente de 207.

Passo 2 — Montar a equação da diagonal principal

A diagonal principal (72, x, 66) também deve somar a constante mágica 207. Como conhecemos dois dos três números, podemos montar uma equação para descobrir o valor central x.

Por que esta fórmula: A soma dos três elementos da diagonal deve ser igual à constante mágica, então escrevemos 72 + x + 66 = 207.

72+x+66=20772 + x + 66 = 207

De onde vem cada valor: 7272 = enunciado: canto superior esquerdo · xx = incógnita: número central · 6666 = enunciado: canto inferior direito · 207207 = passo 1: constante mágica

72+x+66=20772 + x + 66 = 207
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de incluir o x na soma ou usar a constante errada.

Passo 3 — Isolar o x na equação

Para encontrar o valor de x, precisamos isolá-lo em um lado da equação. Isso é feito subtraindo os números conhecidos da constante mágica.

Por que esta fórmula: Subtraímos 72 e 66 de ambos os lados da equação para deixar x sozinho.

x=207−72−66x = 207 - 72 - 66

De onde vem cada valor: 207207 = passo 1: constante mágica · 7272 = enunciado: canto superior esquerdo · 6666 = enunciado: canto inferior direito

x=207−72−66=69x = 207 - 72 - 66 = \boxed{69}
NÃO CAIA NESSA!

Fazer a subtração na ordem errada ou esquecer de subtrair um dos números, resultando em valor incorreto.

Passo 4 — Verificar com a diagonal secundária

Para garantir que o quadrado é mágico, o mesmo valor central deve funcionar para a outra diagonal. A diagonal secundária (78, x, 60) também deve somar 207.

Por que esta fórmula: A soma dos elementos da diagonal secundária deve ser igual à constante mágica, então montamos 78 + x + 60 = 207.

78+x+60=20778 + x + 60 = 207

De onde vem cada valor: 7878 = enunciado: canto superior direito · xx = passo 3: valor central 69 · 6060 = enunciado: canto inferior esquerdo · 207207 = passo 1: constante mágica

78+69+60=207=20778 + 69 + 60 = 207 = \boxed{207}
NÃO CAIA NESSA!

Usar um valor diferente de 69 para x, o que faria a soma não bater com 207.

Passo 5 — Verificar com a coluna central

A coluna central (57, x, 81) também deve somar 207. Confirmar que o mesmo x funciona aqui garante que o quadrado é realmente mágico.

Por que esta fórmula: A soma da coluna central deve ser igual à constante mágica, então montamos 57 + x + 81 = 207.

57+x+81=20757 + x + 81 = 207

De onde vem cada valor: 5757 = enunciado: primeira linha, segundo número · xx = passo 3: valor central 69 · 8181 = enunciado: terceira linha, segundo número · 207207 = passo 1: constante mágica

57+69+81=207=20757 + 69 + 81 = 207 = \boxed{207}
NÃO CAIA NESSA!

Não verificar todas as linhas, colunas e diagonais; apenas uma confirmação não é suficiente.

Resposta: 69 (alternativa C)

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