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Questão de Matemática — Aritmética e Problemas — FUNDATEC 2024

MatemáticaAritmética e Problemas
Código
qg166464
Banca
FUNDATEC
Órgão
Prefeitura de Alpestre - RS
Ano
2024
Nível
Superior
Cargo
Professor de Matemática
Uma cidade propôs um novo sistema de emplacamento de carros. Anteriormente eram emplacados todos no modelo LLL NNNN, em que L significa uma letra e N significa um número, tendo 26 possibilidades de letras e 10 possibilidades de números. O novo sistema propõe que sejam emplacados no modelo LLL NLNN. Sendo assim, existe um aumento percentual nas possiblidades de placas novas igual a:
  1. A60%.
  2. B160%.
  3. C260%.
  4. D1.600%.
  5. E2.600%.
Revelar gabarito e comentário

GabaritoB — 160%.

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Resolução

Gabarito: letra B — a conta chega a 160% — alternativa B.

A ideia por trás

O princípio fundamental da contagem diz que, se uma escolha tem m opções e outra tem n opções independentes, o total de combinações é m vezes n. Para placas, cada posição é uma escolha independente: letra (26 opções) ou número (10 opções). O total de placas é o produto das opções de cada posição.

A variação percentual mede o quanto um valor cresceu em relação ao original: (novo - antigo) / antigo × 100%. Se o novo é 2,6 vezes o antigo, o aumento é de 1,6 vezes, ou seja, 160%. A ordem das letras e números não muda o total, mas a quantidade de cada um sim: mais letras aumentam muito mais as combinações porque 26 é maior que 10.

Esta questão cobra exatamente isso: comparar o total de placas dos dois modelos e calcular o aumento percentual. O passo crucial é perceber que o novo modelo tem 4 letras e 3 números, não 3 e 4.

O que a questão dá

  • modelo antigo: LLL NNNN (3 letras, 4 números)

  • modelo novo: LLL NLNN (4 letras, 3 números)

  • 26 letras possíveis, 10 números possíveis

O que queremos: o aumento percentual no número de placas possíveis

Passo 1 — Contar letras e números de cada modelo

Antes de calcular qualquer total, precisamos saber quantas posições de cada tipo existem. O modelo antigo é LLL NNNN: três letras e quatro números. O novo é LLL NLNN: três letras, depois um número, depois uma letra, depois dois números — no total, quatro letras e três números. Essa diferença é o coração da questão.

antigo: 3 letras, 4 números; novo: 4 letras, 3 números

NÃO CAIA NESSA!

Contar errado o novo modelo: achar que tem 3 letras e 4 números, o que daria o mesmo total e resposta errada.

Passo 2 — Calcular o total de placas antigas

Com a contagem do passo 1, aplicamos o princípio fundamental da contagem: cada posição é uma escolha independente. Para o modelo antigo, são 3 escolhas de letra (26 cada) e 4 escolhas de número (10 cada).

Por que esta fórmula: O total de combinações é o produto das opções de cada posição, pois cada escolha é independente.

Pantiga=263×104P_{antiga} = 26^{3} \times 10^{4}

De onde vem cada valor: 2626 = enunciado: 26 letras · 33 = passo 1: 3 posições de letra · 1010 = enunciado: 10 números · 44 = passo 1: 4 posições de número

Pantiga=263×104=175.760.000 placasP_{antiga} = 26^{3} \times 10^{4} = \boxed{175.760.000\ \text{placas}}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de elevar ao número de posições, usando 26×3 em vez de 26³.

Passo 3 — Calcular o total de placas novas

Mesmo raciocínio do passo 2, mas agora com 4 letras e 3 números. A ordem das posições não importa para o total, apenas a quantidade de cada tipo.

Por que esta fórmula: Mesmo princípio: produto das opções de cada posição.

Pnova=264×103P_{nova} = 26^{4} \times 10^{3}

De onde vem cada valor: 2626 = enunciado: 26 letras · 44 = passo 1: 4 posições de letra · 1010 = enunciado: 10 números · 33 = passo 1: 3 posições de número

Pnova=264×103=456.976.000 placasP_{nova} = 26^{4} \times 10^{3} = \boxed{456.976.000\ \text{placas}}
NÃO CAIA NESSA!

Usar 26³×10⁴ por engano, achando que a quantidade é a mesma.

Passo 4 — Comparar o novo total com o antigo

Para calcular o aumento percentual, precisamos saber quantas vezes o novo é maior que o antigo. Dividimos o novo pelo antigo, simplificando as potências.

Por que esta fórmula: A razão entre os totais mostra o fator de aumento. Como 26⁴/26³ = 26 e 10³/10⁴ = 1/10, o resultado é 26/10 = 2,6.

(P_nova)/(P_antiga) = frac26^4 × 10^326^3 × 10^4 = (26)/(10) = 2,6

De onde vem cada valor: PnovaP_{nova} = passo 3 · PantigaP_{antiga} = passo 2

456.976.000175.760.000=2,6=2,6 vezes\frac{456.976.000}{175.760.000} = 2{,}6 = \boxed{2{,}6\ \text{vezes}}
NÃO CAIA NESSA!

Não simplificar as potências e tentar calcular os números gigantes, perdendo tempo e se confundindo.

Passo 5 — Transformar o fator em aumento percentual

O fator 2,6 significa que o novo total é 2,6 vezes o antigo. O aumento é a parte que excede o original: 2,6 - 1 = 1,6, ou seja, 160%.

Por que esta fórmula: Aumento percentual = (novo - antigo)/antigo × 100% = (fator - 1) × 100%.

Aumento=(2,6−1)×100%=160%\text{Aumento} = (2{,}6 - 1) \times 100\% = 160\%

De onde vem cada valor: 2,62{,}6 = passo 4

(2,6−1)×100%=160%=160 %(2{,}6 - 1) \times 100\% = 160\% = \boxed{160\ \%}
NÃO CAIA NESSA!

Responder 260% por confundir o fator com o aumento; o fator 2,6 é o total, o aumento é 1,6.

Resposta: 160% — alternativa B

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