Questão de Matemática — Poliedros — FUNDATEC 2024

Volume do paralelepípedo com lados em progressão geométrica

Gabarito: letra D. Se o menor lado vale $q$ e os lados crescem em PG de razão $q$, as três dimensões são $q$, $q^2$ e $q^3$. O volume do paralelepípedo é o produto das três dimensões: $q \cdot q^2 \cdot q^3 = q^{1+2+3} = q^6$.

A questão combina dois conceitos: progressão geométrica e volume de paralelepípedo. Numa PG de três termos com razão $q$, se o primeiro termo é $q$, os termos são $q$, $q^2$, $q^3$ (cada termo é o anterior multiplicado por $q$). O volume de um paralelepípedo retângulo é dado pelo produto de suas três dimensões (comprimento × largura × altura). Multiplicando as potências de mesma base, somamos os expoentes: $q^1 \cdot q^2 \cdot q^3 = q^{1+2+3} = q^6$.

A pegadinha está em esquecer de que o menor lado já é $q$ e que a razão é também $q$ — alguns candidatos podem pensar que os lados são $1$, $q$, $q^2$, o que daria $q^3$ (alternativa A). Mas o enunciado diz explicitamente que o menor lado vale $q$.

Alternativa A — ❌ Incorreta

$q^3$ seria o volume se as dimensões fossem $1$, $q$, $q^2$ (ou seja, se o menor lado fosse 1). Mas o menor lado é $q$, não 1. O produto correto é $q \cdot q^2 \cdot q^3 = q^6$.

Alternativa B — ❌ Incorreta

$q^4$ não corresponde a nenhuma combinação simples das dimensões. Se alguém somasse os expoentes de forma errada (por exemplo, $1+1+2$), chegaria a $q^4$, mas o correto é $1+2+3=6$.

Alternativa C — ❌ Incorreta

$q^5$ também não é o resultado. Talvez venha de um erro de contagem dos expoentes (por exemplo, $1+2+2=5$), mas as dimensões são $q$, $q^2$, $q^3$, cuja soma dos expoentes é 6.

Alternativa D — ✅ Correta ⟵ GABARITO

As dimensões são $q$, $q^2$, $q^3$. O volume é o produto: $q \cdot q^2 \cdot q^3 = q^{1+2+3} = q^6$. É exatamente o que a alternativa afirma.

Alternativa E — ❌ Incorreta

$q^7$ seria o resultado se houvesse quatro dimensões (o que não é o caso de um paralelepípedo, que tem três) ou se os expoentes fossem somados incorretamente (por exemplo, $2+2+3=7$).

Gabarito: letra D