Matemática · FUNDATEC · 2024 | Questão sqc-qg167991

Pontos de interseção entre funções

Gabarito: letra B. As funções coincidem quando $f(x) = g(x)$ , ou seja, $x^2 + 2 = x + 4$ . Resolvendo, obtemos $x^2 - x - 2 = 0$ , cujas raízes são $x = -1$ e $x = 2$ . Substituindo em $g(x) = x + 4$ , encontramos os pontos $(-1, 3)$ e $(2, 6)$ — exatamente a alternativa B.

O problema pede os pontos do plano cartesiano onde os gráficos de uma função quadrática e de uma função afim se cruzam. Geometricamente, isso ocorre quando as duas curvas têm a mesma coordenada $y$ para o mesmo $x$ , ou seja, quando $f(x) = g(x)$ . Algebricamente, basta igualar as expressões e resolver a equação resultante.

Vamos ao cálculo:

x^2 + 2 = x + 4

Subtraindo $x + 4$ de ambos os lados:

x^2 - x - 2 = 0

Fatorando (ou usando Bhaskara):

(x - 2)(x + 1) = 0

Portanto, $x = 2$ ou $x = -1$ . Agora, para cada $x$ , calculamos o $y$ correspondente usando $g(x) = x + 4$ (ou $f(x)$ , o resultado é o mesmo):

Para $x = -1$ : $y = -1 + 4 = 3$ → ponto $(-1, 3)$
Para $x = 2$ : $y = 2 + 4 = 6$ → ponto $(2, 6)$

Assim, os pontos de interseção são $(-1, 3)$ e $(2, 6)$ .

Alternativa A — ❌ Incorreta

Os pontos $(1,5)$ e $(3,7)$ não satisfazem a igualdade $f(x) = g(x)$ . Por exemplo, para $x=1$ , $f(1) = 1^2 + 2 = 3$ , enquanto $g(1) = 1 + 4 = 5$ — valores diferentes. A banca provavelmente usou $x=1$ e $x=3$ como distratores, mas eles não são raízes da equação $x^2 - x - 2 = 0$ .

Alternativa B — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Como demonstrado, $x = -1$ e $x = 2$ são as raízes da equação $x^2 - x - 2 = 0$ , e os respectivos valores de $y$ são $3$ e $6$ . Portanto, os pontos $(-1, 3)$ e $(2, 6)$ são exatamente onde as funções coincidem.

Alternativa C — ❌ Incorreta

O ponto $(0,2)$ não é interseção, pois $f(0) = 0^2 + 2 = 2$ , mas $g(0) = 0 + 4 = 4$ . Já o ponto $(-2,2)$ também não: $f(-2) = (-2)^2 + 2 = 6$ , enquanto $g(-2) = -2 + 4 = 2$ . Nenhum dos dois pontos pertence simultaneamente aos dois gráficos.

Alternativa D — ❌ Incorreta

O ponto $(-2,2)$ não é interseção (como visto, $f(-2)=6$ e $g(-2)=2$ ). O ponto $(1,5)$ também não: $f(1)=3$ e $g(1)=5$ . A alternativa mistura um ponto que pertence a $g$ (mas não a $f$ ) com outro que não pertence a nenhuma das duas.

Alternativa E — ❌ Incorreta

O ponto $(0,2)$ pertence a $f$ (pois $f(0)=2$ ), mas não a $g$ (pois $g(0)=4$ ). O ponto $(2,6)$ é interseção, mas como o outro ponto não é, a alternativa está errada. A banca trocou $x=-1$ por $x=0$ , que é a raiz de $f$ isoladamente, não da igualdade.

NÃO CAIA NESSA!

A banca explora a confusão entre "ponto onde a função corta o eixo y" (que seria $x=0$ ) e "ponto de interseção entre duas funções". Para $x=0$ , $f(0)=2$ e $g(0)=4$ — não coincidem. O candidato que apenas testa se o ponto pertence a uma das funções (em vez de verificar a igualdade) cai nas alternativas C e E. Lembre-se: interseção exige que o ponto satisfaça ambas as equações simultaneamente.

PEGA ESSA DICA!

Para resolver questões de interseção de gráficos, sempre iguale as funções e resolva a equação resultante. Depois, substitua os valores de $x$ encontrados em qualquer uma das funções para obter o $y$ . Confira se os pontos obtidos satisfazem as duas funções — isso elimina distratores que usam pontos de uma única função.

Gabarito: letra B