Questão de Matemática — Geral — FUNDATEC 2024

Simplificação de Expressões Algébricas

Gabarito: letra D. A expressão obtida após a simplificação é $a^3 + a^2b^2 + a^2c + ab^2 + b^4 + b^2c + ac^2 + b^2c^2 + c^3$. Para chegar a esse resultado, aplicamos a propriedade distributiva da multiplicação, multiplicando cada termo do primeiro parêntese por cada termo do segundo, e depois agrupamos os termos semelhantes.

A questão cobra a habilidade de multiplicar polinômios, especificamente o produto de dois trinômios. O processo é uma aplicação direta da propriedade distributiva, que também é a base para os produtos notáveis. A banca, ao apresentar alternativas com termos trocados ou faltantes, testa se o candidato domina a multiplicação termo a termo e a correta soma dos expoentes das variáveis.

Vamos desenvolver a expressão passo a passo. Dada a expressão $(a^2 + b^2 + c^2) \cdot (a + b^2 + c)$, multiplicamos cada termo do primeiro fator por cada termo do segundo:

1. $a^2 \cdot a = a^3$

2. $a^2 \cdot b^2 = a^2b^2$

3. $a^2 \cdot c = a^2c$

4. $b^2 \cdot a = ab^2$

5. $b^2 \cdot b^2 = b^4$

6. $b^2 \cdot c = b^2c$

7. $c^2 \cdot a = ac^2$

8. $c^2 \cdot b^2 = b^2c^2$

9. $c^2 \cdot c = c^3$

Somando todos os termos, obtemos exatamente a expressão da alternativa D. Não há termos semelhantes para combinar, pois cada termo tem uma combinação única de expoentes para as variáveis $a$, $b$ e $c$.

Alternativa A — ❌ Incorreta

A alternativa A apresenta $a^3 + b^4 + c^3$, que é apenas a soma dos termos em que as variáveis são elevadas ao cubo ou à quarta potência, ignorando todos os termos mistos como $a^2b^2$, $a^2c$, $ab^2$, $b^2c$, $ac^2$ e $b^2c^2$. Isso ocorre quando o candidato multiplica apenas os termos de mesmo índice ou confunde a multiplicação de polinômios com a potenciação de cada termo isoladamente. A alternativa está incorreta porque omite a maioria dos termos resultantes da distribuição completa.

Alternativa B — ❌ Incorreta

A alternativa B lista $a^3 + ab^2 + ac + ab + b^3 + bc + ac + b^2c + c^3$. Aqui, há vários erros: o termo $ac$ aparece duas vezes, o termo $ab$ não deveria existir (pois $a \cdot b$ não é gerado na multiplicação), e o termo $b^3$ não é gerado (pois $b^2 \cdot b = b^3$, mas não há $b$ no segundo fator). Além disso, faltam termos como $a^2b^2$, $a^2c$, $b^4$, $b^2c^2$ e $ac^2$. A alternativa está incorreta por incluir termos que não são gerados e omitir termos que são gerados.

Alternativa C — ❌ Incorreta

A alternativa C apresenta $a + ab + ac + ab^2 + b^3 + bc^2 + a^2c + b^2c^2 + c^2$. Aqui, o termo $a$ não é gerado (pois $a^2 \cdot a = a^3$, não $a$), o termo $ab$ não é gerado, o termo $b^3$ não é gerado, e o termo $bc^2$ não é gerado (pois $c^2 \cdot b = b^2c^2$, não $bc^2$). Além disso, faltam termos como $a^3$, $a^2b^2$, $b^4$, $b^2c$ e $ac^2$. A alternativa está incorreta por incluir termos que não são gerados e omitir termos que são gerados.

Alternativa D — ✅ Correta ⟵ GABARITO

A alternativa D apresenta exatamente a expressão obtida pela distribuição completa: $a^3 + a^2b^2 + a^2c + ab^2 + b^4 + b^2c + ac^2 + b^2c^2 + c^3$. Cada termo é o produto de um termo do primeiro fator por um termo do segundo fator, e não há termos semelhantes para combinar. A alternativa está correta porque reproduz fielmente o resultado da multiplicação.

Alternativa E — ❌ Incorreta

A alternativa E apresenta $a^3 + ab^2 + ac^2 + a^2b + b^3 + bc^2 + a^2c + bc + c^2$. Aqui, o termo $ac^2$ não é gerado (pois $c^2 \cdot a = ac^2$, mas o termo correto é $ac^2$, que está presente, porém o termo $a^2b$ não é gerado, pois $a^2 \cdot b = a^2b$, mas não há $b$ no segundo fator), o termo $b^3$ não é gerado, o termo $bc^2$ não é gerado, e o termo $bc$ não é gerado. Além disso, faltam termos como $a^2b^2$, $b^4$, $b^2c$ e $b^2c^2$. A alternativa está incorreta por incluir termos que não são gerados e omitir termos que são gerados.

Gabarito: letra D