Questão de Matemática — Análise Combinatória em Matemática — FUNDATEC 2024

Frações: soma e complemento

Gabarito: letra A. A fração de assinantes sem preferência é 1/20. Somamos as frações dos que têm preferência (MPB, Rock e Funk) e subtraímos de 1 (o total), pois o restante não tem preferência. O cálculo é: $1 - \left(\frac{1}{4} + \frac{1}{2} + \frac{1}{5}\right) = \frac{1}{20}$.

A questão trabalha com frações de um todo (o total de assinantes = 1). Quando o enunciado diz que "1/4 prefere MPB; 1/2 prefere Rock; 1/5 prefere Funk e o restante não tem preferência", a ideia é que a soma de todas as partes (as três preferências + o restante) deve ser igual ao total, que é 1 (ou 100%). Para encontrar a fração do restante, basta somar as frações conhecidas e subtrair de 1.

Passo a passo:

1. Somar as frações das preferências:

   $\frac{1}{4} + \frac{1}{2} + \frac{1}{5}$

Para somar, precisamos de um denominador comum. O MMC de 4, 2 e 5 é 20.

$\frac{1}{4} = \frac{5}{20}$ $\frac{1}{2} = \frac{10}{20}$ $\frac{1}{5} = \frac{4}{20}$

Somando: $\frac{5}{20} + \frac{10}{20} + \frac{4}{20} = \frac{19}{20}$

1. Subtrair do total (1):

   $1 - \frac{19}{20} = \frac{20}{20} - \frac{19}{20} = \frac{1}{20}$

Portanto, a fração que representa os assinantes sem preferência é $\frac{1}{20}$.

Alternativa A — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Como demonstrado, a soma das frações com preferência é $\frac{19}{20}$, e o complemento para o total (1) é $\frac{1}{20}$. A alternativa A traz exatamente esse valor.

Alternativa B — ❌ Incorreta

A fração $\frac{3}{2}$ é maior que 1 (equivale a 1,5), o que é impossível para uma parte de um todo. Esse valor não corresponde a nenhum cálculo da questão; provavelmente é um distrator para quem soma as frações sem encontrar o denominador comum e erra na operação.

Alternativa C — ❌ Incorreta

$\frac{1}{15}$ não é o resultado correto. Esse valor poderia surgir de um erro no cálculo do MMC ou na soma das frações (por exemplo, somar os numeradores e denominadores separadamente). O correto é $\frac{1}{20}$.

Alternativa D — ❌ Incorreta

$\frac{4}{5}$ é a fração que representa a soma de algumas preferências, mas não o restante. Por exemplo, $\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{20} = \frac{10}{20} + \frac{5}{20} + \frac{1}{20} = \frac{16}{20} = \frac{4}{5}$. Ou seja, é um valor que aparece em combinações parciais, mas não é o complemento pedido.

Alternativa E — ❌ Incorreta

$\frac{1}{10}$ é o dobro do valor correto ($\frac{1}{20}$). Pode ser um distrator para quem erra na conversão das frações para o denominador comum (por exemplo, usar 10 como denominador).

Gabarito: letra A