Matemática · FUNDATEC · 2024 | Questão sqc-qg168485

Razão entre áreas de quadrado e círculo com mesmo perímetro

Gabarito: letra D. A razão entre a área do quadrado e a área do círculo, quando ambos têm o mesmo perímetro, é $\frac{\pi}{4}$ . Isso porque, igualando os perímetros ( $4\ell = 2\pi r$ ), obtemos $\ell = \frac{\pi r}{2}$ ; substituindo na área do quadrado ( $\ell^2$ ) e dividindo pela área do círculo ( $\pi r^2$ ), chegamos a $\frac{\pi}{4}$ .

Vamos entender o problema passo a passo. O perímetro de um quadrado de lado $\ell$ é $4\ell$ . O perímetro (comprimento da circunferência) de um círculo de raio $r$ é $2\pi r$ . A condição do enunciado é que esses perímetros sejam iguais:

4\ell = 2\pi r

Isolando $\ell$ em função de $r$ :

\ell = \frac{2\pi r}{4} = \frac{\pi r}{2}

Agora, calculamos as áreas. A área do quadrado é $A_q = \ell^2$ . Substituindo $\ell$ :

A_q = \left(\frac{\pi r}{2}\right)^2 = \frac{\pi^2 r^2}{4}

A área do círculo é $A_c = \pi r^2$ . A razão pedida é:

\frac{A_q}{A_c} = \frac{\frac{\pi^2 r^2}{4}}{\pi r^2} = \frac{\pi^2 r^2}{4} \cdot \frac{1}{\pi r^2} = \frac{\pi}{4}

Portanto, a razão entre as áreas é $\frac{\pi}{4}$ , que corresponde à alternativa D.

NÃO CAIA NESSA!

A banca pode tentar confundir pedindo a razão entre o perímetro e a área, ou invertendo a ordem (área do círculo sobre área do quadrado). Aqui, a ordem é clara: "razão entre as áreas dessas figuras" — quadrado sobre círculo. Se fosse o inverso, o resultado seria $\frac{4}{\pi}$ . Fique atento à ordem!

1Igualar perímetros: 4ℓ = 2πr
2Isolar ℓ = πr/2
3Área do quadrado: ℓ² = π²r²/4
4Dividir pela área do círculo: πr²
5Resultado: π/4

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Critério	Quadrado (lado ℓ)	Círculo (raio r)
Perímetro	4ℓ	2πr
Condição de igualdade	4ℓ = 2πr → ℓ = πr/2	2πr = 4ℓ → r = 2ℓ/π
Área	ℓ² = (πr/2)² = π²r²/4	πr²
Razão (quadrado/círculo)	(π²r²/4) ÷ (πr²) = π/4	—
Razão (círculo/quadrado)	—	πr² ÷ (π²r²/4) = 4/π

Alternativa A — ❌ Incorreta

Apresenta apenas $\pi$ , que seria o resultado se a razão fosse entre o quadrado do lado e o raio ao quadrado, sem o fator $\frac{1}{4}$ . Não corresponde à razão correta.

Alternativa B — ❌ Incorreta

$\frac{\pi}{2}$ seria o resultado se o lado do quadrado fosse igual ao diâmetro do círculo ( $\ell = 2r$ ), o que não é o caso aqui, pois os perímetros são iguais, não os diâmetros.

Alternativa C — ❌ Incorreta

A razão 1 indicaria que as áreas são iguais, o que não ocorre. Com o mesmo perímetro, o círculo tem área maior que o quadrado (desigualdade isoperimétrica), então a razão quadrado/círculo é menor que 1.

Alternativa D — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Como demonstrado, a razão é exatamente $\frac{\pi}{4}$ . A substituição de $\ell = \frac{\pi r}{2}$ na área do quadrado e a divisão pela área do círculo resultam nesse valor.

Alternativa E — ❌ Incorreta

$\pi^2$ seria o resultado se a razão fosse entre $\ell^2$ e $r^2$ sem o fator $\pi$ no denominador, o que não é o caso. A presença de $\pi^2$ no numerador e $\pi$ no denominador se cancelam parcialmente, resultando em $\pi/4$ .

Gabarito: letra D