Questão de Matemática — Equação de 2º Grau e Problemas de 2º Grau — FUNDATEC 2024

Equação do 2º Grau: identificação dos coeficientes

Gabarito: letra E — desenvolvendo a equação, obtemos $4x^2 + 0x - 29 = 0$, logo A = 4, B = 0 e C = –29. O caminho é expandir o quadrado, aplicar a propriedade distributiva e reorganizar os termos na forma padrão $ax^2 + bx + c = 0$.

A equação do 2º grau é toda equação que pode ser escrita na forma $ax^2 + bx + c = 0$, com $a \neq 0$. O que a questão pede é justamente reescrever a expressão dada nesse formato, identificando os coeficientes. O ponto crítico é não se confundir com os sinais e com a ordem dos termos — a banca monta alternativas com os coeficientes "trocados" ou com erros de sinal justamente para pegar quem faz a conta com pressa.

Vamos ao desenvolvimento passo a passo:

1. Expandir o quadrado: $(2x - 4)^2 = 4x^2 - 16x + 16$ (produto notável: quadrado do primeiro, menos duas vezes o primeiro vezes o segundo, mais o quadrado do segundo).

2. Substituir na equação: $4x^2 - 16x + 16 - 5 = 8(-2x + 5)$.

3. Simplificar o lado esquerdo: $4x^2 - 16x + 11 = 8(-2x + 5)$.

4. Aplicar a distributiva no lado direito: $8(-2x + 5) = -16x + 40$.

5. Igualar e reorganizar: $4x^2 - 16x + 11 = -16x + 40 \Rightarrow 4x^2 - 16x + 11 + 16x - 40 = 0 \Rightarrow 4x^2 - 29 = 0$.

Pronto: a forma final é $4x^2 + 0x - 29 = 0$, ou seja, A = 4, B = 0 e C = –29. Repare que o termo em $x$ se anula (B = 0), o que caracteriza o caso particular $b = 0$ da equação quadrática.

Alternativa A — ❌ Incorreta

A = 2, B = 24 e C = 61. O valor de A está errado (o coeficiente de $x^2$ é 4, não 2), e os demais não correspondem a nenhum termo da equação desenvolvida. O candidato que erra aqui provavelmente não expandiu o quadrado corretamente ou confundiu os coeficientes com os números que aparecem na expressão original.

Alternativa B — ❌ Incorreta

A = 4, B = –29 e C = 0. O A está correto, mas B e C estão trocados: o termo independente é –29 (C) e o coeficiente de $x$ é 0 (B). A banca inverte os papéis de B e C para testar se o aluno identifica corretamente cada coeficiente na forma padrão.

Alternativa C — ❌ Incorreta

A = 4, B = 16 e C = –29. O A e o C estão corretos, mas o B não: o coeficiente de $x$ é 0, não 16. O 16 aparece no desenvolvimento do quadrado ($-16x$), mas se anula com o $-16x$ do lado direito. Quem marca esta opção provavelmente esqueceu de cancelar os termos em $x$.

Alternativa D — ❌ Incorreta

A = 20, B = 8 e C = 45. Nenhum dos valores corresponde aos coeficientes reais. Parece uma alternativa "chutada" com números que não têm relação com o desenvolvimento — não há como chegar a esses valores por nenhum caminho correto.

Alternativa E — ✅ Correta ⟵ GABARITO

A = 4, B = 0 e C = –29. É exatamente o que obtivemos: $4x^2 + 0x - 29 = 0$. O termo em $x$ se anula, restando apenas o termo quadrático e o termo independente. Este é o caso particular $b = 0$ da equação do 2º grau, em que a equação se reduz a $ax^2 + c = 0$.

Gabarito: letra E