GabaritoD — 36 cm.
Gabarito: letra D — a conta chega a 36 cm (alternativa D).
O losango é um quadrilátero com todos os lados iguais e diagonais perpendiculares que se cruzam no ponto médio. A área de um losango é dada pelo semiproduto das diagonais: A = (D × d) / 2, onde D é a diagonal maior e d é a menor. Essa fórmula vem do fato de que as diagonais dividem o losango em quatro triângulos retângulos congruentes, e a área total é a soma das áreas desses triângulos. Nesta questão, temos a área e a relação entre as diagonais (D = 3d), então substituímos na fórmula e resolvemos a equação para encontrar d, depois calculamos D.
área do losango = 216 cm²
diagonal maior = 3 × diagonal menor
O que queremos: a medida da diagonal maior, em centímetros
Precisamos de uma relação entre a área e as diagonais. A área do losango é calculada como metade do produto das diagonais, pois as diagonais são perpendiculares e se cruzam no meio, formando quatro triângulos retângulos de áreas iguais.
Por que esta fórmula: É a fórmula padrão da área do losango, que relaciona diretamente a área com as duas diagonais.
De onde vem cada valor: = enunciado: 216 cm² · = diagonal maior (incógnita) · = diagonal menor (incógnita)
Esquecer de dividir por 2, o que levaria a um valor dobrado.
O enunciado diz que a diagonal maior é o triplo da menor, então podemos expressar D em função de d, reduzindo a equação a uma só incógnita.
Por que esta fórmula: Substituímos D por 3d na fórmula da área, pois D = 3d.
De onde vem cada valor: = enunciado: área = 216 cm² · = enunciado: D = 3d · = diagonal menor
Inverter a relação, usando d = 3D, o que daria um resultado errado.
Multiplicamos os termos no numerador para obter uma equação mais simples de resolver.
Por que esta fórmula: 3d × d = 3d², então a equação fica 216 = (3d²)/2.
De onde vem cada valor: = passo 2 · = passo 2: 3d × d
Não simplificar corretamente, mantendo a expressão complicada.
Para encontrar o valor de d, precisamos deixar d² sozinho de um lado da equação. Multiplicamos ambos os lados por 2 e depois dividimos por 3.
Por que esta fórmula: Multiplicando por 2: 432 = 3d²; dividindo por 3: d² = 144.
De onde vem cada valor: = passo 3 · = denominador da fração · = coeficiente de d²
Errar a ordem das operações, por exemplo, dividir antes de multiplicar.
Como d é uma medida de comprimento, deve ser positivo. A raiz quadrada de 144 é 12, então d = 12 cm.
Por que esta fórmula: d = √(d²) = √144 = 12, pois 12² = 144.
De onde vem cada valor: = passo 4
Considerar também a raiz negativa, mas como é medida, descartamos -12.
O problema pede a diagonal maior, que é o triplo da menor. Com d = 12 cm, multiplicamos por 3.
Por que esta fórmula: D = 3d, conforme o enunciado.
De onde vem cada valor: = enunciado: diagonal maior é o triplo da menor · = passo 5: 12 cm
Parar no valor de d e marcar a alternativa B, esquecendo de calcular D.
Resposta: 36 cm (alternativa D)
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