Matemática · FUNDATEC · 2024 | Questão sqc-qg169378

Números inteiros e equações simples

Gabarito: letra E. A única afirmação verdadeira é a que admite um número inteiro cujo quadrado seja 64 — e esse número existe: $x = 8$ ou $x = -8$ , pois $8^2 = 64$ e $(-8)^2 = 64$ . As demais alternativas falham por exigirem raiz quadrada negativa, por generalizarem indevidamente ou por não terem solução inteira.

A questão testa dois conhecimentos básicos: a definição do conjunto dos números inteiros ( $\mathbb{Z}$ ) e a resolução de equações simples. O conjunto dos inteiros é formado pelos números naturais (0, 1, 2, 3, ...) e seus opostos negativos (−1, −2, −3, ...). Ele é infinito e contém tanto números pares quanto ímpares, tanto primos quanto compostos. A banca explora justamente a tentação de generalizar: dizer que "todos" os inteiros são pares ou primos é falso, pois basta um contraexemplo para derrubar a afirmação.

Vamos analisar cada alternativa com cuidado, resolvendo as equações quando necessário.

Alternativa	Afirmação (p)	Análise	Valor-verdade
A	∃x ∈ ℤ, √x = −4	√x ≥ 0 para x ≥ 0; se x < 0, √x não é real	F
B	∀x ∈ ℤ, x é par	Contraexemplo: x = 1 (ímpar)	F
C	∃x ∈ ℤ, 3x² = 5	x² = 5/3, não é quadrado perfeito inteiro	F
D	∀x ∈ ℤ, x é primo	Contraexemplo: x = 4 (composto)	F
E	∃x ∈ ℤ, x² = 64	x = 8 ou x = −8, ambos inteiros	V

Alternativa A — ❌ Incorreta

A afirmação diz que existe inteiro $x$ tal que $\sqrt{x} = -4$ . Pela definição de raiz quadrada, o resultado é sempre não negativo (para $x \geq 0$ ). Ou seja, $\sqrt{x} \geq 0$ para todo $x$ real não negativo. Portanto, $\sqrt{x} = -4$ é impossível. Além disso, se $x$ fosse negativo, a raiz quadrada nem estaria definida no conjunto dos números reais. Logo, a alternativa é falsa.

Alternativa B — ❌ Incorreta

Afirma que todos os números inteiros são pares. Isso é falso: o número 1 é inteiro e não é par (é ímpar). Basta um contraexemplo para invalidar a generalização. O conjunto dos inteiros contém tanto pares (…, −4, −2, 0, 2, 4, …) quanto ímpares (…, −3, −1, 1, 3, …).

Alternativa C — ❌ Incorreta

A equação é $3x^2 = 5$ . Dividindo ambos os lados por 3, obtemos $x^2 = \frac{5}{3}$ . Como $\frac{5}{3}$ não é um quadrado perfeito, $x$ não é inteiro (na verdade, $x = \pm\sqrt{\frac{5}{3}}$ , que é irracional). Portanto, não existe inteiro que satisfaça a equação.

Alternativa D — ❌ Incorreta

Afirma que todos os números inteiros são primos. Falso: o número 4 é inteiro e não é primo (é composto, pois $4 = 2 \times 2$ ). Além disso, 0 e 1 não são primos, e os números negativos também não são considerados primos na definição usual. A generalização é claramente inválida.

Alternativa E — ✅ Correta ⟵ GABARITO

A equação é $x^2 = 64$ . As soluções são $x = 8$ e $x = -8$ , ambos números inteiros. De fato, $8^2 = 64$ e $(-8)^2 = 64$ . Portanto, existe número inteiro que satisfaz a condição — na verdade, existem dois. A alternativa é verdadeira.

NÃO CAIA NESSA!

A banca aposta na pressa do candidato. Na alternativa A, muitos esquecem que a raiz quadrada de um número real não negativo é sempre não negativa — então $\sqrt{x} = -4$ é impossível. Já nas alternativas B e D, a pegadinha é a palavra "todos": basta um contraexemplo (1 não é par; 4 não é primo) para derrubar a generalização. Na C, a solução não é inteira. Fique atento a esses padrões: "todos" e "sempre" são bandeiras vermelhas em questões de conjuntos numéricos.

PEGA ESSA DICA!

Para resolver rapidamente, teste cada alternativa com um exemplo concreto. Se a afirmação diz "existe", tente achar um valor que satisfaça; se diz "todos", procure um contraexemplo. Essa estratégia resolve a questão em segundos, sem precisar de cálculos longos.

Gabarito: letra E